１９２０年，イギリスの数学者モーデルは

　　ａｘ^4＋ｂｘ^3ｚ＋ｃｚ^2ｙ^2＋ｄｘ^3ｙ＋ｃｙ^4＝０

のように３変数４次不定方程式には整数解が有限個しかない，さらに４次以上何次になってもそうであろうと予想しました（モーデル予想）．

　変数を複素数の範囲で考えると，楕円曲線ｙ^2＝ｘ^3−ｘ＋９はトーラス，ｘ^4＋ｙ^4−１＝０は３重トーラスになるのですが，浮輪の穴の数によって方程式の解の様子が変化していくことをモーデルは予想したのです．

　モーデル予想は５０年以上にわたって未解決であったのですが，１９８３年，ドイツの数学者ファルティングスがこの予想を解決しました．

　「種数が２以上の代数曲線（超楕円曲線）は有理点を有限個しかもたない．」

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　フェルマーの最終定理『ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^nでｎ≧３のとき，ｘ，ｙ，ｚは正の整数解をもたない．』を解くことは，２変数ｎ次多項式ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ^n＋ｙ^n−１＝０に，有理数解があるか，すなわち有理点をもつかどうかを考える問題に対応します．

　モーデル・ファルティングスの定理によってフェルマーの方程式に解があるとすれば高々有限個しか解がないことはわかりましが，１つもないかどうかはわかりません．しかしながら，モーデル・ファルティングスの定理より，有理点が無数にあるような曲線は種数が０か１ということになり，直線（種数０）か，円錐曲線（種数０）か，楕円曲線（種数１）に限られてきます．

　また，リーマン・フルヴィッツの公式より，フェルマー曲線ｘ^n＋ｙ^n＝１は種数が（ｎ−１）（ｎ−２）／２で，これはｎ＝３のとき１ですが，ｎ≧４のときは２以上となりますから，そこでフェルマーの予想を征するために必要となるのが楕円曲線であったというわけです．

　こうして，１９７０年代，フェルマーの問題を征するために必要となるのが楕円曲線であることが明らかになりました．楕円曲線には，楕円曲線と三点で交わる直線で，そのうちの二つの交点の座標がわかれば他の一点の座標も計算でき，二つの点の座標が有理数ならば，他の一点の座標も有理数であるなどの性質をもっています．

　ａ^p＋ｂ^p＝ｃ^pを満たすような楕円曲線：

　　ｙ^2＝ｘ（ｘ＋ａ^p）（ｘ−ｂ^p）

が保型関数によってパラメトライズできないことの証明がフェルマーの最終定理の証明に繋がるのですが，これ以上はかなりこみいった話になるので追求しないでおきましょう．（楕円曲線の有理点の有無ではなく，楕円曲線そのものが存在しないことを示すのである．）

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