【３】２次元多様体の分類定理（その２）

　基本的な曲面（球面Ｓ，輪環面Ｔ，クラインの壷Ｋ，射影平面Ｐ）の組み合わせを標準形曲面と呼びます．ここでは標準形曲面Ｓ，ｎＴ（ｎ≧１），ｍＰ（ｍ≧１）を取り扱うことにします．ＳとｎＴは向き付け可能，ｍＰは向き付け不可能ですから，Ｓだけが孤立していますが，Ｓを０Ｔと約束するとｎＴ（ｎ≧０）は向き付け可能な標準形曲面となり，好都合です．

　また，クラインの壷Ｋは２つの射影平面の連結和２Ｐ＝Ｐ＃Ｐと同相です．Ｔ＃ＰはＫ＃Ｐと同相であり，したがって３Ｐとも同相になります．すなわち，クラインの壷Ｋは射影平面Ｐをつけることによってみかけ上そのねじれが解消され，トーラスＴに射影平面Ｐがくっついた形になってしまうことは驚くべきことと考えられます．

　したがって，ｎＴ，ｍＰを扱えばよいことになるのですが，以下にコンパクトな曲面の分類定理をまとめておきます．

［１］向き付け可能なコンパクトな曲面はｍＴ（ｍ≧０）と同相である．ただし，０Ｔは球面Ｓを意味するものとする．

［２］向き付け不可能なコンパクトな曲面はｍＰ（ｍ≧１）と同相である．

［３］これ以外の向き付け不可能なコンパクトな曲面は，Ｐ＃ｍＴ，Ｋ＃ｍＴ（ｍ≧０）のような向き付け不可能な曲面と同相である．Ｐ＃ｍＴ，Ｋ＃ｍＴを第２標準形曲面と呼ぶ．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【４】オイラー標数

　ここではコンパクトな曲面の不変量として，オイラー標数を取り上げます．

　　χ（Ｓ）＝２，χ（Ｔ）＝０，χ（Ｋ）＝０，χ（Ｐ）＝１

　　χ（ｍＴ）＝２−２ｍ，χ（ｍＰ）＝２−ｍ

　　χ（Ｋ＃ｍＴ）＝−２ｍ，χ（Ｐ＃ｍＴ）＝１−２ｍ

　２つのコンパクトな曲面が同相となるための必要十分条件は

［１］同じオイラー標数をもつ

かつ

［２］ともに向き付け可能かまたはともに向き付け不可能である

ことです．このことから５Ｔと７Ｔは決して同相にはならないし，６７Ｐと４５Ｐも決して同相にはならないことが示されます．

　Ｋは２Ｐと同相なので，向き付け不可能なコンパクトな曲面はｍ（≧０）個の穴をもつトーラスに１個あるいは２個の交差帽をつけたものと見ることができます．ハンドルを取り付けるには開円板を２個，交差帽を取り付けるには取り除く必要がありますから，種数ｍは途中に現れる穴の個数，最後にできあがる曲面のオイラー標数は２から取り除いた開円板の個数を引いた数に等しいことがわかります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝