【１】フィボナッチ数列の周期性の解析

　Ｆn+1＝Ｆn＋Ｆn-1と同値なベクトルの漸化式を

　　［Ｆn ］＝［０，１］［Ｆn-1］＝Ａ［Ｆn-1］

　　［Ｆn+1］　［１，１］［Ｆn ］　　［Ｆn ］

で置き換えると，

　　［Ｆn ］＝Ａ^n［Ｆn-1］

　　［Ｆn+1］　　　［Ｆn ］

　　Ａ＝［０，１］

　　　　［１，１］

は対称行列で，

　　Ａ^2＝［１，１］，Ａ^3＝［１，２］，Ａ^4＝［２，３］

　　　　　［１，２］ 　　　［２，３］ 　　　［３，５］

　　Ａ^5＝［３，５］

　　　　　［５，８］

Ａ^nも対称行列となることに加え，フィボナッチ数列が現れることがわかる．すなわち，

　　Ａ^n＝Ａ^n-1Ａ＝［Ｆn-2，Ｆn-1］［０，１］＝［Ｆn-1，Ｆn ］

　　　　　　　　　　　　　［Ｆn-1，Ｆn ］［１，１］　［Ｆn，　Ｆn+1］

　ここではこの道具を使って，合同式

　　Ｌ705＝１　　（ｍｏｄ７０５）

を確かめてみることにするが，Ｌ0＝２，Ｌ1＝１，ｎ＝７０４として

　　［Ｌ704］＝Ａ^704［２］

　　［Ｌ705］　　　　［１］

したがって，Ｌ705＝１（ｍｏｄ７０５）の整除性の周期性はＡ^704（ｍｏｄ７０５）を評価することに等しく，行列の積の演算において７０５の倍数をすべて捨ててよいことになる．

　　７０４＝６４＋１２８＋５１２

　　Ａ^64 ＝［１４２，４２３］，Ａ^128＝［２８３，１４１］

　　　　　　［４２３，５６５］　　　　　［１４１，４２４］

　　Ａ^512＝［４２４，５６４］，Ａ^704＝［１４２，４２３］

　　　　　　［５６４，２８３］　　　　　［４２３，５６５］

　　［Ｌ704］＝［１４２，４２３］［２］＝［７０７］＝［２］

　　［Ｌ705］　［４２３，５６５］［１］　［１４１１］［１］

より

　　Ｌ705＝１　　（ｍｏｄ７０５）

　　Ｌ704＝２　　（ｍｏｄ７０５）

が成り立つことが示されたことになる．

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　 ［参］シェーンベルグ「数学点描」近代科学社（三村護訳）

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