■類数１（その７）
ｘ^2＋ｙ^2＝（ｘ＋ｙｉ）（ｘ−ｙｉ）
ｘ^2＋２ｙ^2＝（ｘ＋ｙ√−２）（ｘ−ｙ√−２）
ｘ^2−２ｙ^2＝（ｘ＋ｙ√２）（ｘ−ｙ√２）
ｘ^2＋３ｙ^2＝（ｘ＋ｙ√−３）（ｘ−ｙ√−３）
ですから，それぞれ２次体
Ｑ（ｉ），Ｑ（√−２），Ｑ（√２），Ｑ（√−３）
と関係していることは容易に想像されます．
Ｑ（√ｄ）の整数環をいかに定義すべきかが確定すると，次に，いかなるｄに対してＡ（ω）は一意分解環になるのかが問題となります．
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【１】類数と素因数分解の一意性
正の整数では素因数分解の一意性が成り立ちます．また，Ｑ（√−１）＝Ｑ（ｉ）の世界では，
χ（５）＝（−１／５）＝１ （第１補充法則）
より，素数５は２つの相異なる素イデアルの積となり
５＝（２＋ｉ）（２−ｉ）
とただ１通りのイデアル分解されます．
ところが，扱う数の範囲を広げると，既約因子の積に２通りに表されるような状況を生じます．たとえば，扱う数の範囲を整数から，
Ｚ（√−５）＝｛ａ＋ｂ√−５｜ａ，ｂは整数｝
にまで拡げると，
６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）
２，３は素数ですし，
１＋√−５，１−√−５
はいずれも
ａ＋ｂ√−５
のなかには±１と±それ自身以外の約数をもたないので「素数」です．
このように，もうこれ以上分解できないはずの素因数分解の仕方が２通り存在してしまう現象が起こります．Ｑ（√ｄ）の整数環Ａ（ω）が必ずしも一意分解環でないことに最初に気づいたのは，ディリクレでした．
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【２】類体論
２次体における素数の分解
Ｑ（ｉ），Ｑ（√−２），Ｑ（√２），Ｑ（√−３），Ｑ（√３）
はいずれも類数が１であって，これらの体の整数環は一意分解整域となります．したがって，素数は素イデアルの積としてただ１通りに表されます．
それに対して，Ｑ（√−５）やＱ（√−６）は類数が２であり，Ｚ（√−５）やＺ（√−６）は一意分解とは限らないことを意味しています．
６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）
類数１では，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2，ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2，・・・の形に書ける素数の場合，Ｑ（√−１）やＱ（√−２）においてｐが完全分解するための必要十分条件
Ｑ（√−１） ←→ １（ｍｏｄ４）
Ｑ（√−２） ←→ １，３（ｍｏｄ８）
がそのままだったのに対して，類数２では，ｐ＝ｘ^2＋５ｙ^2，ｐ＝ｘ^2＋６ｙ^2，・・・の形に書ける素数に次のような現象が起こります．
ｐ≠２，５でない素数とするとき
「ｐが２０で割ると１または９余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋５ｙ^2」
ｐ≠２，３でない素数とするとき
「ｐが２４で割ると１または７余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋６ｙ^2」
すなわち，Ｑ（√−５）において，ｐが完全分解するための必要十分条件
１，３，７，９（ｍｏｄ２０）
Ｑ（√−６）において，ｐが完全分解するための必要十分条件
１，５，７，１１（ｍｏｄ２０）
に較べて少しずれが生じてしまうのです．
以上は２次形式論に移すと，どのようなｄに対して判別式Ｄ＝ｄあるいはｄ／４の形式の同値類がただ１つになっているかということです．ガウスは証明なしにではありますが，負のｄに対してＡ（ω）が単項イデアル環になっているものをすべて決定しています．この事実に最終的な証明が与えられたのが，１９６６年のベイカー・スタークの定理
『類数が１となる虚２次体Ｑ（√ｄ）は
−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３
しかない』
というわけです．
ついでながら，ｈ＝２なる虚２次体Ｑ（√ｄ）は，
−ｄ＝５，６，１０，１３，１５，２２，３５，３７，５１，５８，９１，１１５，１２３，１８７，２３５，２６７，４０３，４２７
の１８個あります．
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【３】佐々木の定理
一般に，自然数νに対して，素因数の数を重複も許してｄｅｇνと書くことにします．たとえば，
ｄｅｇ１０＝２，ｄｅｇ８＝３，ｄｅｇ（素数）＝１
虚２次体に対して，
ｍ＝ｍａｘ（ｄｅｇＰ（ｘ）），０≦ｘ≦ｑ−２
とおくと，ラビノヴィッチの定理は
−ｄ＝７，１１，１９，４３，６７，１６３
ですから，
ｍ＝１ ←→ ｈ＝１
を意味しています．
実は
ｍ＝２ ←→ ｈ＝２
であることも佐々木隆二氏によって証明されています．しかし，Ｑ（√−２１）では
ｍ＝３ ＜ ｈ＝４
が起こってしまいます．
なお，佐々木氏は常に
ｍ≦ｈ
が成り立つことも証明しています．
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