【１】ｐ進数

　有限体の話とよく似た例にｐ進数があります．ｐ進数は，有理数から実数とは違う方向に枝分かれした数といってもよい数体系なのですが，たとえば，７進数の世界では

　　１＋７＋７^2＋７^3＋・・・＝−１／６

２進数では

　　１＋２＋２^2＋２^3＋・・・＝−１

が正しいのです．正数の総和が負になって、一見して目がくらんでしまいますが，別に冗談をいっているのではありません．

　また，有限体の場合と同様，ｐ進数を係数とする方程式を考え，その根をどんどん新しい数としてつけ加えていくと，ついにはどんな方程式からもそれ以上新しい根がでないような数の体系にいきつきます．

　有限体とかｐ進数とか，どちらもｐが素数のとき体をなすのですが，われわれの知らない数はまだまだあるのです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】ｐ進数体Ｑp

　ところで，「互いに素な整数ａ，ｂに対する平方の和ａ^2＋ｂ^2は３で割れない．」はｘ^2＋ｙ^2＝３が３進数体Ｑ3上で解をもたないことを証明したことにほかなりません．

　素数ｐをあらかじめ決めておいて，ａを素因数分解します．ｐのベキ乗部分を分離して，

　　ａ＝ｐ^n・ｂ／ｃ

とするとき，

　　｜ａ｜p＝ｐ^(-n)

という式によって，ａの新しい絶対値を決めます．例えば，ｐ＝３としておくと

　　｜１８｜3＝｜２・３^2｜3＝３^(-2)，｜１９｜3＝１，

　　｜１３／１８｜3＝｜３^(-2)・１３／２｜3＝３^2

などとなります．

　以上で定義した素数ｐごとに定まる絶対値をｐ進付値といいます．ｐ進付値は普通と違って，ｐ^nはｎが大きくなるとゼロに近づきます．すなわち，ｐ進数的に小さいとは，それが高いベキで割り切れるということです．

　ｐ進数は１９世紀にヘンゼルによって導入された非アルキメデス的数体系で，有理数体Ｑを｜｜pで完備化して得られます．ｐ進数の集合は

　　Ｑp＝｛ａ-nｐ^(-n)＋・・・＋ａ0＋ａ1ｐ＋ａ2ｐ^2＋・・・＋ａnｐ^n｝

　　　　　　０≦ａi≦ｐ−１

と書けるのですが，これらの数の中で四則演算ができますから，体をなすというわけです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝