ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ≦３√３／８

αβγ≦(π/3)^3

　　ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ /αβγ ≦３√３・3^3／８π^3

　　ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ≦ｋαβγ

　　ｋ＝（３√３／２π）^3＝０．５６５５・・・　　　（等号は正三角形のとき）

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　（その６）では書かなかったが，ｓｉｎｘのテイラー展開によって，無限級数

　　ｓｉｎｘ＝ｘ−ｘ^3／３！＋ｘ^5／５！−ｘ^7／７！＋・・・

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝１−ｘ^2／３！＋ｘ^4／５！−ｘ^6／７！＋・・・

が示される．

　明らかに

　　ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ≦αβγ

であるが，

　　ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ≦ｋαβγ

　　ｋ＝（３√３／２π）^3＝０．５６５５・・・　　　（等号は正三角形のとき）

が成立するというわけである．

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　　ｓｉｎｘ／ｘ＝１−ｘ^2／３！＋ｘ^4／５！−ｘ^6／７！＋・・・

x=π/3のとき、

１−ｘ^2／３！＋ｘ^4／５！−ｘ^6／７！＋・・・＝３√３／２π

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ｓｉｎｘの無限積表示

　　ｓｉｎｘ＝ｘΠｃｏｓｘ／２^n

　　　　　　＝ｘ（１−ｘ^2／π^2）（１−ｘ^2／４π^2）（１−ｘ^2／９π^2）・・・

この結果は，ｓｉｎｘがｘ＝０，±π，±２π，±３π，・・・のとき，０になることに一致している．

Π（１−ｘ^2／π^2）=（１−ｘ^2／π^2）（１−ｘ^2／４π^2）（１−ｘ^2／９π^2）・・

x=π/3のとき、

Π（１−ｘ^2／π^2）=３√３／２π

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