円分多項式

　　Φ1（ｘ）＝ｘ−１

　　Φ2（ｘ）＝ｘ＋１

　　Φ3（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋１

　　Φ4（ｘ）＝ｘ^2＋１

　　Φ5（ｘ）＝ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１

　　Φ6（ｘ）＝ｘ^2−ｘ＋１

　　Φ7（ｘ）＝ｘ^6＋ｘ^5＋ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１

　　Φ8（ｘ）＝ｘ^4＋１

　　Φ9（ｘ）＝ｘ^6＋ｘ^3＋１

　　Φ10（ｘ）＝ｘ^4−ｘ^3＋ｘ^2−ｘ＋１

　　Φ12（ｘ）＝ｘ^4−ｘ^2＋１

　　Φ15（ｘ）＝ｘ^8−ｘ^7＋ｘ^5−ｘ^4＋ｘ^3−ｘ＋１

　　Φ16（ｘ）＝ｘ^8＋１

　　Φ18（ｘ）＝ｘ^6−ｘ^3＋１

　　Φ24（ｘ）＝ｘ^8−ｘ^4＋１

　　Φ36（ｘ）＝ｘ^12−ｘ^6＋１

はｘ^n−１のブロック素材として働くもので，その係数はすべて実数である．その係数は±１に限られるように見えるかもしれないが，Φ105（ｘ）は±１以外の係数が最初に現れる円分多項式である．

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　　ｘ^11−１＝（ｘ−１）（ｘ^10＋ｘ^9＋ｘ^8＋ｘ^7＋ｘ^6＋ｘ^5＋ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１）

　　ｘ^10＋ｘ^9＋ｘ^8＋ｘ^7＋ｘ^6＋ｘ^5＋ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１

＝Φ2（ｘ）Φ5（ｘ）Φ10（ｘ）

＝（ｘ＋１）（ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１）（ｘ^4−ｘ^3＋ｘ^2−ｘ＋１）

と因数分解されるが，係数が実数となる範囲で２次式に因数分解すると，

　　ｘ^10＋ｘ^9＋ｘ^8＋ｘ^7＋ｘ^6＋ｘ^5＋ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１

＝Π（ｘ^2−２ｃｏｓ（２ｋπ／１１）＋１）　　ｋ＝１〜５

となる．

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　１０５＝３・５・７より，

　　ｘ^106−１＝（ｘ−１）（ｘ^105＋ｘ^104＋ｘ^103＋・・・＋ｘ^2＋ｘ＋１）

＝（ｘ−１）Φ3（ｘ）Φ5（ｘ）Φ7（ｘ）Φ15（ｘ）Φ21（ｘ）Φ35（ｘ）Φ105（ｘ）

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ｘ^n−１を因数分解するとその係数は±１、０に限られるように見える。

しかしその法則性はｎ＝105で突如崩壊する。

ｎが異なる奇素数ｐ、ｑを用いてｎ＝２^a・ｐ^b・ｑ^cと素因数分解するされるときその係数は±１、０に限られることが知られている

そして105は相異なる3つの奇素数の積で表される最小の整数なのである。

n=105では-2が登場するのであるが、驚くべきことに「すべての整数ｍに対してｘ^n−１を因数分解した際の係数にｍが登場するようなｎが存在する（鈴木の定理）

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