【１】オイラーの５角数公式，ヤコビの３角数公式の一般化

　　Π(1-q^n)=Σ(-1)^m･q^(m(3m+1)/2)　　　（オイラーの５角数定理）

　　Π(1-q^n)^3＝Σ(-1)^m(2m+1)q^((m^2+m)/2)　　　（ヤコビの３角数定理）

　一般に，正の整数ｃに対して

　　Π(1-q^n)^c＝Σamq^m

を求めることは数学者の興味をかきたててきた．オイラー（ｃ＝１），ヤコビ（ｃ＝３），ロジャース，ヘッケ（ｃ＝２），ラマヌジャン（ｃ＝４，６，８），アトキンス（ｃ＝１０，１４，２６），ダイソン（ｃ＝３，８，１０，１４，１５，２１，２４，２６，・・・）

　マクドナルドは１９７２年に

　　ｃ＝ｎ^2＋２ｎ

　　ｃ＝２ｎ^2＋ｎ

　　ｃ＝２ｎ^2−ｎ

に対する一般公式，および，ｃ＝１４，５２，７８，１３３，２４８に対する公式を発見した．

　ロジャース，ヘッケ（ｃ＝２），ラマヌジャン（ｃ＝４），アトキンス（ｃ＝２６）はマクドナルドの公式に含まれていないことを注意．この分野の研究はいまでも続いている．

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