【３】クラインの恒等式とダイソンの恒等式（オイラーの恒等式のベキ）

　ここでは，

　　Π（１−ｘ^n）^d

を考える．

　たとえば，ｄ＝８では

　　Π（１−ｘ^n）^8＝Σ（１／３＋２（３ｋｌｍ−ｋｌ−ｋｍ−ｌｍ）／３・ｘ^-(kl*km+lm)　　　（クライン，フリッケ）

ｄ＝２４では

　　Π（１−ｘ^n）^24＝ΣΣΠ（ａi−ａj）／１！２！３！４！・ｘ^(n-1)

　　ａi＝ｉ　（ｍｏｄ５），ａ1＋・・・＋ａ5＝０，ａ1^2＋・・・＋ａ5^2＝１０ｎ^2

　ｄ＝３，８，１０，１４，１５，２１，２４，２６，２８，３５，３６，・・・に対してはエレガントな公式があることが知られている．ｄ（ヤコビ），ｄ＝８（クライン，フリッケ），ｄ＝１０（ヴィンクィスト），ｄ＝１４，２６（アトキン），ｄ＝２４（ダイソン），・・・

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【４】マクドナルドの恒等式（１９７２年）

　特別な指数ｄの謎は，１９７２年，イギリスのマクドナルドによって解決された（しかもすべての問題をきれいに片づけてしまった）．ヤコビの恒等式は２変数であったが，その一般化である（ｎ変数）．

　　Π（１−ｘ1^k・・・ｘn^k）^(n-1)Π（１−ｘ1^k・・・ｘn^k／ｘi・・・ｘj-1）（１−ｘ1^k・・・ｘn^k／ｘ1・・ｘi-1ｘj-1・・ｘn）

＝Σε（ｋ1，・・・．ｋn）ｘ1^k1・・・ｘn^kn

とくに，ｄ＝ｎ^2−１のとき（ガウスの恒等式，クラインの恒等式，ダイソンの恒等式の一般化），右辺は

　（−１）^(n-1)Σε（ｋ1，・・・．ｋn）ｘ1^k1・・・ｘn^kn

　　Π（１−ｘ^k・・・ｘn^k）^(n-1)Π（１−ｘ1^k・・・ｘn^k／ｘi・・・ｘj-1）（１−ｘ1^k・・・ｘn^k／ｘ1・・ｘi-1ｘj-1・・ｘn）

＝Σε（ｋ１，・・・．ｋn）（ｋ1，ｎ−１）（ｋ2，ｎ−２）（ｋn-1，１）ｘn^kn

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