円周率の関係した公式は何百と得られていますが，コンツェビッチ・ザギエの予想が示唆していることは，円周率を表す公式は本質的にひとつなのではないかというものです．

　［参］吉永正彦「周期と実数の０認識問題」数学書房

にしたがって，グレゴリー・ライプニッツ級数（１６７１年）

　π／４＝１／１−１／３＋１／５−１／７＋１／９−１／１１＋・・・

から，オイラーの第１級数（１７３６年）

　π^2 ／６＝１／１^2 ＋１／２^2 ＋１／３^2 ＋１／４^2 ＋・・・

を導出してみます．是非購読されたい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　ｂk＝１／｛（４ｋ＋２）^2−１｝

＝１／２・｛１／（（４ｋ＋２）−１）−１／（（４ｋ＋２）＋１）｝

とおくと，グレゴリー・ライプニッツ級数は

　　Σｂk＝π／８

　一方，オイラーの第１級数の証明には

　　Σ１／（２ｋ＋１）^2＝８（Σｂk）^2

を示せばよい．

　　ｂkｂl＝−（ｂk−ｂl）／｛（４ｋ＋２）^2−（４ｌ＋２）^2｝

　　（Σｂk）^2＝Σｂk^2＋２Σｂkｂl

＝Σｂk^2−２Σ（ｂk−ｂl）／｛（４ｋ＋２）^2−（４ｌ＋２）^2｝

Σｂk^2＝Σ｛１／２・｛１／（（４ｋ＋２）−１）−１／（（４ｋ＋２）＋１）｝｝^2

＝１／４Σ１／（２ｋ＋１）^2−１／２Σｂk

Σ（ｂk−ｂl）／｛（４ｋ＋２）^2−（４ｌ＋２）^2｝

＝−１／４Σｂk＋１／１６Σ１／（２ｋ＋１）^2

　これらを整理すると

　　Σ１／（２ｋ＋１）^2＝８（Σｂk）^2

が得られる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝