１からはじめなくてもよければ，３^2＋４^2＝５^2，１８^2＋１９^2＋・・・＋２８^2＝７７^2，３^3＋４^3＋５^3＝６^3，１１^3＋１２^3＋１３^3＋１４^3＝２０^3など連続した平方（立方）数の和が平方（立方）数となることがあります．

［Ｑ］ｘ^4＋（ｘ＋１）^4＋（ｘ＋２）^4＋（ｘ＋３）^4＝（ｘ＋４）^4を満たす整数ｘは存在しないことを証明せよ．

［Ａ］ｘ＝４ｋ＋１のとき，左辺＝２，右辺＝１　　（ｍｏｄ４）

　　　ｘ＝４ｋ＋２のとき，左辺＝２，右辺＝０　　（ｍｏｄ４）

　　　ｘ＝４ｋ＋３のとき，左辺＝２，右辺＝０　　（ｍｏｄ４）

　　　ｘ＝４ｋのとき，左辺＝２，右辺＝０　　　　（ｍｏｄ４）

［Ｑ］ｘ^k＋（ｘ＋１）^k＋・・・＋（ｘ＋ｋ−１）^k＝（ｘ＋ｋ）^kを考える．

（１）ｋの１の位が１のとき，上式を満たす整数ｘは存在しないことを証明せよ．

（２）ｋが素数のとき，上式を満たす整数ｘが存在するならば，ｋ＝２であることを証明せよ．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　ｘ^k＋（ｘ＋１）^k＋・・・＋（ｘ＋ｋ−１）^k＝（ｘ＋ｋ）^kが整数解をもつならば，

［１］ｋ＝２，ｘ＝−１→（−１）^2＋０^2＝１^2

［２］ｋ＝２，ｘ＝３→３^2＋４^2＝５^2

［２］ｋ＝３，ｘ＝３→３^3＋４^3＋５^3＝６^3

の３通りだけであると予想されている．

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円周を１２等分する点が与えられているとき，３点を結んでできる直角三角形は３：４：５のものだけである（総数は６０個）．

（証）無限に多く存在するピタゴラス数（ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2）はすべて

　　ａ＝ｋ（ｘ^2−ｙ^2），ｂ＝２ｋｘｙ，ｃ＝ｋ（ｘ^2＋ｙ^2）

で生成される（１≦ｙ＜ｘ）．

　　ｘ^2−ｙ^2＋２ｘｙ＋ｘ^2＋ｙ^2＝２ｘ（ｘ＋ｙ）≦１２

　　ｘ（ｘ＋ｙ）≦６よりｘ＝２，ｙ＝１　→　ｘ^2＋ｙ^2＝５

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