［Ｑ］ｘ^3−１１７ｙ^3＝５は整数解をまったくもたないことを証明せよ．

［Ａ］証明は背理法による．整数解（ｘ0，ｙ0）をもつと仮定すると，

　　ｘ0^3−１１７ｙ0^3＝５

　法９で還元すると

　　ｘ0^3−１１７ｙ0^3＝ｘ0^3＝５　　（ｍｏｄ９）

ｘ0　＝０，１，２，３，４，５，６，７，８　　（ｍｏｄ９）

ｘ0^3＝０，１，８，０，１，８，０，１，８　　（ｍｏｄ９）

　したがって，

　　ｘ0^3＝５　　（ｍｏｄ９）

は不可能．

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［Ｑ］ｘ^2−７ｙ^2＝３は整数解をまったくもたないことを証明せよ．

［Ａ］証明は背理法による．整数解（ｘ0，ｙ0）をもつと仮定すると，

　　ｘ0^2−７ｙ0^3＝３

　法７で還元すると

　　ｘ0^2−７ｙ0^2＝ｘ0^2＝３　　（ｍｏｄ７）

ｘ0　＝０，１，２，３，４，５，６，７，８　　（ｍｏｄ７）

ｘ0^2＝０，１，４，２，２，４，１，０，１　　（ｍｏｄ７）

　したがって，

　　ｘ0^2＝３　　（ｍｏｄ７）

は不可能．

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