１３＝２^2＋３^2

であるが，

　　１３＝（１８／５）^2＋（１／５）^2

　　１３＝（１７／５）^2＋（６／５）^2

とも分解される．

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　　１３＝２^2＋３^2

　　　　＝（ｘ＋２）^2＋（ｍｘ−３）^2

と分解されるとして，ｍに任意の有理数を代入すると解が得られる．

　　１３＝２^2＋３^2

　　　　＝x{(m^2+1)x+(4-6m)}+13

(m^2+1)x+(4-6m)=0となるように定めると・・・

［１］ｍ＝２→ｘ＝８／５

　　１３＝（１８／５）^2＋（１／５）^2

［２］ｍ＝３→ｘ＝７／５

　　１３＝（１７／５）^2＋（６／５）^2

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　ところで，ルジャンドルは６は２つの有理数の３乗和として書けないと主張したが，１９世紀末から２０世紀初頭のイギリスのパズル作家デュドニーはその反例

　　６＝（１７／２１）^3＋（３７／２１）^3

を発見した．

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