ラマヌジャンの問題「２^n−７＝ｘ^2の整数解を求めよ」について，ｎ＝１０^40までコンピュータ検索したが，ラマヌジャン自身が示した解

　　ｎ＝３，４，５，７，１５

以外の解を発見することはできなかったという．最近，この５組以外の解はないことが証明された．証明はかなり難しいらしい．

　　［参］中島匠一「問題を解こう！」日本評論社

に簡単に計算する方法が掲載されていたので，紹介したい．

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　　α＝（１＋√−７）／２

とおく．

　　α＋α~＝１，αα~＝２＝｜α｜^2

　　α^k＝（ａk＋ｂk√−７）／２

によって，有理数ａk，ｂkを定めれば

　　ａk^2＋７ｂk^2＝４｜α^k｜^2＝２^k+2

　したがって，ラマヌジャンの問題「２^n−７＝ｘ^2の整数解を求めよ」に対しては，

　　ｂk＝±１

が対応する．

　定義より

　　ｂk＝（α^k−α~^k）／√−７

ここで，

　　α^k+2−α~^k+2＝（α＋α~）（α^k+1−α~^k+1）−αα~（α^k−α~^k）

より，漸化式

　　ｂk+2＝ｂk+1−２ｂk，ｂ0＝０，ｂ1＝１

が得られる．

ｋ：０，１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０，１１，１２，１３

ｂk：０，１，１，−１，−３，−１，５，７，−３，−１７，−１１，２３，４５，−１

　ｂk＝±１となるのは

　　（ｘ，ｎ）＝（１，３）（３，４），（５，５）（１１，７）（１８１，１５）

すなわち，ｎ＝３，４，５，７，１５の５組が得られる．

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