［１］ｘ^2＋１＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）はｐが４ｍ＋１の形をしているとき，そのときに限り解ける．

［２］ｘ^2＋２＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）はｐが８ｍ＋１または８ｍ＋３の形をしているとき，そのときに限り解ける．

［３］ｘ^2＋３＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）はｐが６ｍ＋１の形をしているとき，そのときに限り解けるという事実の基づいて，次の形の素数が無限に多く存在することを証明せよ．

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［Ｑ］４ｍ＋１型の素数は無限に存在することを証明せよ．

［Ａ］ｐ1，ｐ2，・・・，ｐkを４ｍ＋１型素数とすれば，

　　（２ｐ1ｐ2・・・ｐk）^2＋１

は４ｍ＋１の形をしていて，その最小の素因数ｐはｐ1，ｐ2，・・・，ｐkのいずれとも異なっている．

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［Ｑ］６ｍ＋１型の素数は無限に存在することを証明せよ．

［Ａ］ｐ1，ｐ2，・・・，ｐkを６ｍ＋１型素数とすれば，

　　（２ｐ1ｐ2・・・ｐk）^2＋３

は６ｍ＋１の形をしていて，その最小の素因数ｐはｐ1，ｐ2，・・・，ｐkのいずれとも異なっている．

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