【１】三角形ビリヤードの最短経路

　１つの３角形を辺に関して次々折り返していって，３角形が互いに重なることなく平面を埋めつくす鏡映三角形による平面充填について考えます．たいていの場合は途中で３角形同士が重なってしまいますが，うまくいくと平面を鏡映三角形で埋めつくすことができます．

　このような平面充填が可能な３角形は

　　（６，６，６）　→　正三角形

　　（４，８，８）　→　直角二等辺三角形

　　（４，６，１２）　→　３０°，６０°，９０°の三角形

　　（３，１２，１２）→　３０°，３０°，１２０°の三角形

の４通りあります．このうち，３０°，３０°，１２０°の角をもつ三角形は，正三角形格子（３，６）の各面を３個の合同な三角形に分解することによってできるモザイク模様です．「麻の葉」文様と呼ばれるくり返し文様なのですが，日本では古くから装飾工芸品や寄木細工のデザインなどとして用いられていますから，ご存じの方も多いと思います．

　これらはすべて頂角のまわりで鏡像を貼り付けていって１周で鏡像群が元に戻るものですが，ここでは正三角形や頂角が（３０°，６０°，９０°），（４５°，４５°，９０°）の直角三角形のような頂点がすべて有理数×πで与えられるものばかりでなく，無理数×πで与えられるものを含む一般の三角形ビリヤードの周期性について考えてみます．

　鋭角三角形のビリヤード台を考えると，各辺で１回ずつ反射して常に同じ軌道をぐるぐると周り続ける巡回軌道が存在します．また，三角形の内部を２回以上回って最初の点に戻るような巡回軌道は無数に考えられます．

　三角形ビリヤードの場合，球があたる壁を中心として鏡像を貼り付けていくと，６個目の鏡像で最初の三角形を平行移動させたものが登場しますから，このことは任意の位置から特定の角度でビリヤードの球を発射させると６回壁にあたった後，最初と同じ位置・同じ角度で戻ってくることができることを意味しています．

　ちょうど１周で最初の点に戻る巡回軌道はあらゆる巡回軌道のなかで最短のものであって，三角形の各頂点から対辺に下ろした垂線の足を結ぶ「垂足三角形」に限られます．

　３辺の長さ和の最小値を与える内接三角形である垂足三角形には「垂足三角形の内角は各垂線によって二等分される」という性質があります．そのため，垂線の足の位置から他の垂線の足の位置に向けてビリヤードの球を発射させると，３回壁にあたった後，最初と同じ位置・同じ角度で戻ってくるのです．

　三角形の内部を２回以上回って最初の点に戻るような巡回軌道でもこの軌道上の各辺はいずれも垂足三角形の辺と平行となります．また，四角形ビリヤードでは，四角形が円に内接し円の中心が四角形の内部にある場合，そのような四角形の内部には巡回軌道が存在しうることが知られています．

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【２】３次元ビリヤード

　それではビリヤード球が立方体の内部で各面で１回ずつ反射して，常に同じ軌道をぐるぐると周り続けることは可能でしょうか？　これは可能であって，スタインハウスが発見した例は各面を３×３に分割した升目の角をイス型に巡回するものが知られています．

　また，コンウェイは正四面体において同様の巡回軌道を発見しています．それは各面の中央に正四面体の辺の１／１０の長さをもつ正三角形の頂点を通るものです．

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