【４】２元２次形式による表現

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2＝ｎ

「ｎが判別式ｄのある２次形式で表現されるための必要十分条件は

　　ｘ^2＝ｄ　　（ｍｏｄ　４ｎ）

が解をもつこと」である．

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［１］フェルマー・オイラーの定理（２平方和定理）

　ｍ＝４ｋ＋３の形をした数は２つの平方数の和になりません．ｍの素因数分解におけるｐ＝４ｋ＋３の形のすべての素因数の指数が偶数であるときに限り，２つの平方数の和の形に表すことができるのです．すなわち，

「ｘ^2＋ｙ^2＝ｎと表されるための必要十分条件は，ｐ＝３　（ｍｏｄ　４）なるｎの素因数ｐが偶数ベキであることである．」

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［２］３平方和の定理

　　「正整数ｎが３つの平方数の和として表せる←→４^m（８ｋ＋７）の形をした数ではない．」

　ｎ≠４^m（８ｋ＋７）はｎが高々３個の平方数で表されるための必要十分条件です．ガウスの定理ともルジャンドルの定理とも呼ばれますが，ルジャンドルは２次形式ａｘ^2＋ｂｙ^2＋ｃｚ^2の研究を通して，より一般的な３元２次形式論としてこの結果を得ています．

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［３］バシェ・ラグランジュの定理

　「すべての正の整数は高々４個の整数の平方和で表される」というのが，「バシェ・ラグランジュの定理」です．驚くべきことに，任意の自然数がたった４つの平方数の和の形に表せるのです．このことを，シンボリックに書くと

　　ｎ＝□＋□＋□＋□

となります．□は平方数の意味です．

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