■類数１（その１）
整数係数の２元２次形式
ｆ（ｘ，ｙ）＝ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2
の判別式はｄ＝ｂ^2−４ａｃで与えられる．
与えられた判別式ｄをもつ簡約２次形式は有限個しかない．−ｄ＝４ａｃ−ｂ^2≧３ａｃであるから，ａ，ｃ，｜ｂ｜は｜ｄ｜／３を越えることはないからである．
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【３】簡約２次形式と類数
それでは，与えられた判別式ｄをもつ簡約２次形式は何個あるのだろうか？判別式ｄの簡約２次形式の個数を類数と呼び，ｈ（ｄ）と書く．たとえばｄ＝−４のとき，３ａｃ≦４よりａ＝ｃ＝１，ｂ＝０．したがってｈ（−４）＝１
−ｄ＝４ａｃ−ｂ^2≧３ａｃ→−ａ＜ｂ≦ａ＜ｃまたは０≦ｂ≦ａ＝ｃより，（ａ，ｃ）を定め，それらに対しｂ^2＝４ａｃ＋ｄより，ｂが定められるかどうかを見てみよう．
［１］ｄ＝−３
３ａｃ≦３→（ａ，ｃ）＝（１，１），ｂ＝±１．しかし，変換
［ｘ］＝［１，−１］［ｘ’］
［ｙ］ ［０， １］［ｙ’］
により（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，１，１）と（１，−１，１）は同値．ゆえにｈ（−３）＝１
［２］ｄ＝−４，ｈ（−３）＝１
［３］ｄ＝−７
３ａｃ≦７→（ａ，ｃ）＝（１，２），ｂ＝±１．（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，１，２）と（１，−１，２）は同値．ゆえにｈ（−７）＝１
［４］ｄ＝−８
３ａｃ≦８→（ａ，ｃ）＝（１，２），ｂ＝０．ｈ（−８）＝１
［５］ｄ＝−１１
３ａｃ≦１１→（ａ，ｃ）＝（１，３），ｂ＝±１．（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，１，３）と（１，−１，３）は同値．ゆえにｈ（−１１）＝１
［６］ｄ＝−１９
３ａｃ≦１９→（ａ，ｃ）＝（１，５），ｂ＝±１．（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，１，５）と（１，−１，５）は同値．ゆえにｈ（−１９）＝１
［７］ｄ＝−４３
３ａｃ≦４３→（ａ，ｃ）＝（１，１１），ｂ＝±１．
（ａ，ｃ）＝（１，１３），ｂ＝±３．
しかし，変換
［ｘ］＝［１，−１］［ｘ’］
［ｙ］ ［０， １］［ｙ’］
により（１，１，１１）→（１，−１，１１），（１，３，１３）→（１，１，１１），（１，−１，１１）→（１，−３，１３）．ゆえにｈ（−４３）＝１
［８］ｄ＝−６７
３ａｃ≦６７→（ａ，ｃ）＝（１，１７），ｂ＝±１．
（ａ，ｃ）＝（１，１９），ｂ＝±３．
しかし，変換により（１，１，１７）→（１，−１，１７），（１，３，１９）→（１，１，１７），（１，−１，１３）→（１，−３，１９）．ゆえにｈ（−６７）＝１
［９］ｄ＝−１６３
３ａｃ≦１６３→（ａ，ｃ）＝（１，４１），ｂ＝±１．
（ａ，ｃ）＝（１，４３），ｂ＝±３．
（ａ，ｃ）＝（１，４７），ｂ＝±５．
（ａ，ｃ）＝（１，５３），ｂ＝±７．
しかし，変換により（１，１，４１）→（１，−１，４１），（１，３，４３）→（１，１，４１），（１，−３，４３）→（１，−５，４７），（１，５，４７）→（１，３，４３），（１，７，５３）→（１，５，４７），（１，−５，４７）→（１，−７，５３），（１，−１，４１）→（１，−１，４３）．ゆえにｈ（−１６３）＝１．
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類数ｈ（ｄ）とは判別式ｄをもつ２次形式の非同値な類の個数にほかならないのであるが，ところで，一意分解性をもつ虚２次体Ｑ（√ｄ）はすべて知られていて
ｄ＝−１，−２，−３，−７，−１１，−１９，−４３，−６７，−１６３
であることが１９６６年，ベイカーとスタークにより独立に証明された．（両者の方法はまったく異なり，一方は超越数の理論，他方は楕円モデュラー関数の研究に依拠するものである．）
Ｑ（√−５）において
６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）
Ｑ（√−６）において
６＝２・３＝（√−６）（−√−６）
はＱ（√−５）やＱ（√−６）が一意分解性をもたないことを示すものである．
たとえば，２＝（ａ＋ｂ√−６）（ｃ＋ｄ√−６）とおいて，ノルムをとれば４＝（ａ^2＋６ｂ^2）（ｃ^2＋６ｄ^2）．これより（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＝（±１，０，±２，０），（±２，０，±１，０）．ゆえに２は既約．同様に３，√−６も既約である．
それに対して，Ｑ（√３）において
２２＝２・１１＝（５＋√３）（５−√３）
はＱ（√３）が一意分解性をもつことと矛盾しない．２，１１，５＋√３，５−√３は既約ではないからである．
２＝（−１＋√３）（１＋√３）
１１＝（−１＋２√３）（１＋２√３）
５−√３＝（−１＋√３）（１＋２√３）
５＋√３＝（−１＋２√３）（１＋√３）
一意分解性をもつ実２次体Ｑ（√ｄ）のすべてを見いだす問題は未解決であるが，無限に多く存在するだろうと予想されている（それすら証明されていない）．
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