【２】２元１次形式による表現とシルヴェスターの定理

　互いに素な２つの整数ａ1，ａ2が与えられたとき，非負整数が存在して

　　ｍ1ａ1＋ｍ2ａ2＝ｎ

が成り立つことは，硬貨の言葉に置き換えるとａ1円玉とａ2円玉を用いてｎ円が支払えることを意味する．どの額が支払えるか，支払えない最高額はいくらかという問題が考えられるところである（この問題はフロベニウスの硬貨交換問題と呼ばれる）．

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　支払えない最高額をフロベニウス数と呼び，ｇ（ａ1，ａ2）で表される．

　　ｇ（ａ1，ａ2）＝ａ1ａ2−ａ1−ａ2＝（ａ1−１）（ａ2−１）−１

で与えられ，１と（ａ1−１）（ａ2−１）の間にある整数のちょうど半数が表現可能である．

　たとえば，ａ1＝４，ａ2＝７の場合，ｇ（ａ1，ａ2）＝１７で，表現不可能な整数の数は（ａ1−１）（ａ2−１）／２＝９となる．

　シルヴェスターの定理の証明は母関数

　　ｆ（ｚ）＝１／（１−ｚ^a1）（１−ｚ^a2）ｚ^n

の定数項と関連しているが，硬貨が３枚以上になると格段複雑になり，ｎ元１次形式に対する公式はほとんど成功しなかった．

　なお，ｎ×ｎ正方行列で各行各列の和が同じになるものを半魔方陣Ｈn，主対角線の和も同じになるものを魔方陣Ｍnと呼ぶと，それぞれの魔方陣の数も母関数の定数項と関連している．魔方陣の数を数え上げる問題の研究は２０世紀になってからようやく始まったものである．

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