有名なオイラー積分

　　I=∫(0,π/2)log(sinx)dx=-π/2log2

を求めてみることにしましょう．

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sin(π-x)=sinxより，∫(0,π)log(sinx)dx=2I

cos(π/2-x)=sinxより，∫(0,π/2)log(cosx)dx

xを2xに置き換えると

2I=∫(0,π)log(sinx)dx=2∫(0,π/2)log(sin2x)dx

I=∫(0,π/2)log(sin2x)dx

=∫(0,π/2)log2dx+∫(0,π/2)log(sinx)dx+∫(0,π/2)log(cosx)dx

=π/2log2+2I

これより

　I=∫(0,π/2)log(sinx)dx=-π/2log2=-1.088793045･･･

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　同じことではあるが，積分変数をｘからπ／２−ｘに置き換えて

sin(π/2-x)=cosxより，

∫(0,π/2)log(sin(π/2-x))dx=∫(0,π/2)log(cosx)dx

2I=∫(0,π/2){log(sinx)+log(cosx)}dx=∫(0,π/2)log((sin2x)/2)dx

=-π/2log2+∫(0,π/2)log(sin2x)dx

再び積分変数をｘからｘ／２に置き換えて

2I=-π/2log2+1/2∫(0,π)log(sinx)dx=-π/2log2+I

したがって，

　I=-π/2log2

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