ａ，ｂを整数として

　　ａ＋ｂｉ

で表される複素数が「ガウスの整数」である．ガウスの整数は和と積の演算に関して閉じている．

　また，すべてのガウス整数を約す整数が「単数」で，

　　±１，±ｉ

の４個の単数がある．ガウスの数体では（単数を除いて）素因数分解の一意性が成立する．

　それに対して，Ｑ（√−５）では

　　６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）

のように，素数の積に２通りに表されるような状況を生じてしまうのである．（２，３は素数であるし，１＋√−５，１−√−５はいずれも

　　ａ＋ｂ√−５

のなかには±１と±それ自身以外の約数をもたないので「素数」である．）

　それでは，どういう負の数−ｄを使った数体系Ｑ（√−ｄ）で，素因数分解は一意となるのであろうか？

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【１】ベイカー・スタークの定理

　この答えは既に知られていて，次の９つの虚２次体Ｑ（√ｄ）

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

に限られるというものです．このコラムをご覧の読者であれば，最初の２つ以外では半整数ａ，ｂを使って，ａ＋ｂ√−ｄを作る必要があることはおわかりでしょう（＝１（ｍｏｄ４））．

　ずいぶん以前からこの９個の数は知られていたのですが，１０番目の数が存在するかもしれない・・・というまどろっこしい状態が続いていました．この１０番目の数が実際に存在するかどうかを解明するために長い歳月が費やされました．

　その経緯について触れておきたいのですが，１９３２年，ハイルブロンとリンフットが１０番目のｄがあるとすれば，それは１０^11よりも大きくなることを示しました．また，１９５２年，ヘーグナーが９個ですべてだという証明を発表しましたが，彼は高校の教師であり研究者として部外者であったため，この証明は懐疑的に受け取られていたようです．

　そして，１９６６年，アメリカのスタークとイギリスのベイカーが独立に世界中を納得させる証明を与えました．それは不正確であるとして無視されたヘーグナーの証明の誤りを払拭するものでもありました．また，１９６８年，ドイリングはヘーグナーの証明を修正することに成功しましたが，既にそのときはベイカー，スタークに先を越されていて遅きに失した状況にありました．

［補］１９５２年，ヘーグナーは１世紀以上も未解決だったガウスによる予想を証明しているのですが，その証明を標準的な手法で書かなかったため，長らく間違ったものとみなされていました．ところが，１９６６年，ベーカーとスタークがこの問題を解いたのを契機に，ヘーグナーの証明がはじめて注意深く吟味され，その証明が本質的には正しいことが明らかになりました．これでヘーグナーに対する批評が公正でないことが明らかになったのですが，残念ながら，ヘーグナーは１９６５年に亡くなっており，自らの名誉回復をその目で見ることはできませんでした．現在，９個の数

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

はヘーグナー数と呼ばれています．

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【２】９個の数の不思議な性質

　この９個の数

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

はとても面白い性質をもっています．

　オイラーの有名な素数生成式

　　ｎ^2＋ｎ＋４１

を紹介しましたが，この公式はｎ＝０のとき素数４１，ｎ＝１で素数４３，ｎ＝２で素数４７を与えます．このようにしてｎが０から３９までのどのｎをとってもオイラーの公式はすべて素数を与えます．

　４１，４３，４７，５３，６１，７１，８３，９７，１１３，１３１，

　１５１，１７３，１９７，２２３，２５１，２８１，３１３，３４７，

　３８３，４２１，４６１，５０３，５４７，５９３，６４１，６９１，

　７４３，７９７，８５３，９１１，９７１，１０３３，１０９７，１１６３，

　１２３１，１３０１，１３７３，１４４７，１５２３，１６０１

オイラーの公式はｎ＝４０で１６８１＝４１^2となって破綻しますが，１０００万以下のｎに対して４７．５％の確率で素数を生成します．

　２次方程式

　　ｘ^2＋ｘ＋４１＝０

の解は

　　ｘ＝１／２（−１±√−１６３）

であり，虚２次体Ｑ（√−１６３）の理論と深く関係しているのですが，この不思議な性質も類数１に関するラビノヴィッチの定理から説明されます．

　同様に，１変数の２次多項式

　　ｎ^2＋ｎ＋１７

も高い確率で素数を生成しますが，ｄ＝−６７＝１（ｍｏｄ４）の場合を考えると，ｑ＝１７ですから，虚２次体Ｑ（√−６７）と関係しているというわけです．

　　ｎ^2＋ｎ＋４１（０≦ｎ≦３９なるすべてのｎについて素数となる）

　　　←→　Ｑ（√−１６３）

でしたが，以下同様に

　　ｎ^2＋ｎ＋１７（０≦ｎ≦１５）　←→　Ｑ（√−６７）

　　ｎ^2＋ｎ＋１１（０≦ｎ≦９）　　←→　Ｑ（√−４３）

　　ｎ^2＋ｎ＋５（０≦ｎ≦３）　　　←→　Ｑ（√−１９）

　　ｎ^2＋ｎ＋３（０≦ｎ≦１）　　　←→　Ｑ（√−１１）

　　ｎ^2＋ｎ＋２（０≦ｎ≦０）　　　←→　Ｑ（√−７）

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　もうひとつの注目すべき事実は

　　ｘ＝ｅｘｐ（π√ｄ）

が数値的にとても整数に近くなりうるというものです．

　　ｅｘｐ（π√４３）＝884736743.999777･･･

　　ｅｘｐ（π√６７）＝147197952743.99999866･･･

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝262537412640768743.99999999999925007･･･

　これは決して偶然の一致ではありません．ｘに対しては

　　ｘ−７４４＋１９６８８４／ｘ−２１４９３７６０／ｘ^2＋・・・

がぴったり整数になることがわかっています．これらの係数は重さ０のモジュラー関数においてｑ→−１／ｘとしたものです．

　ｘが大きいほど後半の項は小さな値となるので，ｘ自身は極めて整数（実は立方数）に近い数になるというわけです．

　　ｅｘｐ（π√４３）＝９６０^3＋７４４−ε

　　ｅｘｐ（π√６７）＝５２８０^3＋７４４−ε

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝６４０３２０^3＋７４４−ε

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