スタインハウスの問題

　平面上の点で座標が両方とも整数の点を格子点といいます．

（Ｑ）与えられた整数ｎに対して，平面上の円でちょうどｎ個の格子点を囲むものが存在するか？

という問いかけはスタインハウスが１９５７年に提起した問題です．シェルピンスキーはスタインハウスの問題に肯定的に答えています．

（Ａ）点（√２，１／３）は平面上のすべての格子点から異なる距離にある．

（証）（ａ1，ａ2），（ｂ1，ｂ2）は点（√２，１／３）から等距離にある異なる格子点と仮定すると

（ａ1－√２）^2＋（ａ2－１／３）^2＝（ｂ1－√２）^2＋（ｂ2－１／３）^2

ａ1^2＋ａ2^2－ｂ1^2－ｂ2^2－２／３ａ2＋２／３ｂ2＝２（ａ1－ｂ1）√２

　√２が無理数であることより

　　ａ1－ｂ1＝０かつａ2^2－ｂ2^2－２／３（ａ2－ｂ2）＝０

したがって，

　　ａ2＋ｂ2－２／３＝０

でなければならない．しかし，ａ2，ｂ2は整数であるから明らかに矛盾する．よって，点（√２，１／３）から格子点までの距離はすべて異なることがわかる．

　２つの無理数，たとえば点Ｐ（√２，√３）に対しても同様に証明することができる．３頂点とも格子点であるような正三角形，３頂点とも格子点であるような正五角形は存在しない．

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（Ｑ）与えられた整数ｎに対して，平面上の円でちょうどｎ個の格子点を通る円が存在するか？

（Ａ）yes.

　ｎ＝２（ｋ＋１）のとき，点（１／２，０）を中心とする円

　　（２ｘ－１）^2＋（２ｙ）^2＝５^k

　ｎ＝２ｋ＋１のとき，点（１／４，０）を中心とする円

　　（４ｘ－１）^2＋（４ｙ）^2＝５^2k

がちょうどｎ個の格子点を通る円となる．

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