ピタゴラス数

　直角三角形では斜辺をｃ，他の二辺をａ，ｂとすると，ピタゴラスの定理「ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2」が成り立つことはよく知られています．特に，三辺の長さが整数である直角三角形をピタゴラス三角形といいます．３元２次の不定方程式ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2の整数解を求める問題をピタゴラスの問題といいますが，（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，４，５），（５，１２，１３），（８，１５，１７），・・・などがその解です．

　ピタゴラス三角形は無限にあり，その一般形にはいくつかの変形がありますが，ｍ，ｎを整数，ｋを相似係数として

　　ａ＝ｋ（ｍ^2−ｎ^2），ｂ＝２ｋｍｎ，ｃ＝ｋ（ｍ^2＋ｎ^2）

が形も簡単で広く用いられています．二つの文字を使った公式

　　（ｍ^2−ｎ^2）^2＋（２ｍｎ）^2＝（ｍ^2＋ｎ^2）^2

では全部を表すことができます．逆に，この式から４より大きい平方数は常に２つの自然数の平方の差として表されることがわかります．

　４０００年も前の紀元前二千年頃に，エジプトでは（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，４，５），（５，１２，１３），（８，１５，１７）などのピタゴラス三角形が知られていたことがパピルスに記録されています．また，同じ頃のバビロニアの粘土板プリンプトン３２２にはピタゴラスの定理が成り立つような３数の組が１５組刻まれているのですが，その中のきわめつけが（１２７０９，１３５００，１８５４１）です．この数値は試行錯誤で得られるような代物ではなく，バビロニア人たちはすでに一般的なピタゴラスの定理を知っていたのではないかと想像されます．

　すべてのピタゴラス三角形は整数の面積をもっています．三辺の長さと面積が整数である三角形をヘロン三角形といいますが，直角三角形でない三角形の中にもヘロン三角形は存在します．ヘロン三角形は２つのピタゴラス三角形を貼り合わせることで簡単に作ることができ，たとえば，直角三角形（５，１２，１３）と直角三角形（９，１２，１５）から三辺の長さが（１３，１４，１５）で面積が８４の鋭角三角形と三辺の長さが（４，１３，１５）で面積が２４の鈍角三角形が得られます．一般に，３辺と面積が有理数であるようなすべての三角形は，有理数辺をもつ２つの直角三角形から合成されます．３辺がすべて有理数の直角三角形は適当な整数倍によってピタゴラス三角形になりますから，ヘロン三角形は広義のピラゴラス三角形から合成されるといってもよいでしょう．なお，直角三角形の面積は６の倍数ですが，それが平方数となる（ａ，ｂ，ｃ）は存在しません．

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（Ｑ）ピタゴラスの問題ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2において，（３，４，５）がこの方程式を満たすことはよく知られている．ｘ，ｙの一方は偶数であるとして，ｘ，ｙ，ｚの少なくともひとつは３の倍数であり，少なくともひとつは４の倍数であり，少なくともひとつは５の倍数であることを証明せよ．

（Ａ）ｘ，ｙ，ｚのいずれも３の倍数でないとすれば，それらは３ｋ±１の形であるから

　　（３ｋ±１）^2＝１　　（ｍｏｄ３）

であるから，ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2　　（ｍｏｄ３）の左辺は２，右辺は１となって不合理．

　ｘ，ｙ，ｚのいずれも４の倍数でないとすれば，それらは４ｋ±１，４ｋ±２の形である．

　　（４ｋ±１）^2＝１　　（ｍｏｄ８）

　　（４ｋ±２）^2＝４　　（ｍｏｄ８）

であるから，ｙを４ｋ±２の形とするとｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2　　（ｍｏｄ８）の左辺は５または０，右辺は１または４となって不合理．

　ｘ，ｙ，ｚのいずれも５の倍数でないとすれば，それらは５ｋ±１，５ｋ±２の形である．

　　（５ｋ±１）^2＝１　　（ｍｏｄ５）

　　（５ｋ±２）^2＝４　　（ｍｏｄ５）

であるから，ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2　　（ｍｏｄ５）の左辺は２，０，３，右辺は１または４となって不合理．

　したがって，ピタゴラスの三角形においてｘｙは偶数であるから，面積は整数であり，ｘｙｚは６０の倍数であることも証明された．

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