フェルマーやオイラーはx^2+my^2型の場合を研究したが、、その後、ルジャンドルやガウスは

aｘ^2＋bxｙ+cy^2型の場合を研究した。

一般に、

aｘ^2＋bxｙ+cy^2＝n

がZ^2に解をもつか否かを判定するアルゴリズムが存在する。素数の場合の限ってみると・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

２平方和定理「２より大きい素数が２つの整数ａ，ｂを用いて，ｐ＝ａ^2＋ｂ^2と表されるためには，ｐが４ｎ＋１型素数であることが必要十分である」は，ガウス整数の世界では

　　ｐ＝（ａ＋ｂｉ）（ａ−ｂｉ）

と素因数分解される条件を与えている定理であるとみることができる．

　　３ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋３ｙ^2の形に表すことができる．

　　４ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋ｙ^2の形に表すことができる．

　　４ｎ＋３型素数は，ｘ^2＋ｙ^2の形に表すことができない．

　　５ｎ＋１型素数は，ｘ^2−５ｙ^2の形に表すことができる．

　　５ｎ＋２型素数は，ｘ^2−５ｙ^2の形に表すことができない．

　　５ｎ＋３型素数は，ｘ^2−５ｙ^2の形に表すことができない．

　　５ｎ＋４型素数は，ｘ^2−５ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋１型素数は，ｘ^2−２ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋３型素数は，ｘ^2−２ｙ^2の形に表すことができない．

　　８ｎ＋５型素数は，ｘ^2−２ｙ^2の形に表すことができない．

　　８ｎ＋７型素数は，ｘ^2−２ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋３型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋５型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができない．

　　８ｎ＋７型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができない．

　　１２ｎ＋１型素数は，ｘ^2−３ｙ^2の形に表すことができる．

　　１２ｎ＋５型素数は，ｘ^2−３ｙ^2の形に表すことができない．

　　１２ｎ＋７型素数は，ｘ^2−３ｙ^2の形に表すことができない．

　　１２ｎ＋１１型素数は，ｘ^2−３ｙ^2の形に表すことができる．

　　２０ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋５ｙ^2の形に表すことができる．

　　２０ｎ＋９型素数は，ｘ^2＋５ｙ^2の形に表すことができる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　素数ｐがｘ^2＋ｎｙ^2の形に表せるという問題は，虚２次体Ｑ（√−ｎ）のイデアル類群が深い関係にあることを示唆している．

　　４ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋３型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができる．

　　３ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋３ｙ^2の形に表すことができる．

　　７ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋７ｙ^2の形に表すことができる．

　　７ｎ＋２型素数は，ｘ^2＋７ｙ^2の形に表すことができる．

　　７ｎ＋４型素数は，ｘ^2＋７ｙ^2の形に表すことができる．

はそれぞれ虚２次体Ｑ（√−１），Ｑ（√−２），Ｑ（√−３），Ｑ（√−７）の類数が１であることが本質的なのである．

　１９６６年，ベイカーとスタークは独立に類数１の虚２次体Ｑ（√ｄ）すなわち（ｄ＜０，ｄは平方因子をもたない）なる２次体をすべて決定したが，それによると，

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

の９個に限られる．

　なお，類数１の実２次体Ｑ（√ｄ）は無数に存在するであろうというガウス予想は現在でも未解決である．

［補］虚２次体Ｑ（√ｄ）の整数環がユークリッド整域となるのは，

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１

の５つの場合に限る．実２次体Ｑ（√ｄ）に対しては

　　ｄ＝２，３，５，６，７，１１，１３，１７，１９，２１，２９，３３，３７，４１，５７，７３

に限ることが知られている．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

５はｘ^4＋４ｙ^4型の唯一の素数である。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

aｘ^2＋by^2の形で一通りに表される数が素数であるとき、abを好適な数という。

11は好適ではない最小の正の整数である。オイラーの好適な数は65個ある

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝