【１】オイラーの幸運数

　ｘ^2＋ｘ＋４１のｘに０，１，２，・・・，３９を入れてできる数はすべて素数である（オイラー，１７７２年）．

　同様に，ｘ^2＋ｘ＋１７のｘに０，１，２，・・・，１５を入れてできる数はすべて素数である．

　たとえば，１５＝３・５（合成数）に対して，ｘ^2＋ｘ＋１５はｘ＝３，ｘ＝５のとき，合成数となるので，以下，ｐを素数として，

　　ｘ^2＋ｘ＋ｐ

を考える．

　実は，ｘ^2＋ｘ＋ｐのｘに０，１，２，・・・，ｐ−２を入れてできる数がすべて素数であるのは，ｐ＝２，３，５，１１，１７，４１の６つ以外にない

ことをスタークが証明した（１９６７年）．この６つをオイラーの幸運数という．

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オイラーの幸運数は、整数環が一意分解整域である虚２次体と関係している。

その虚２次体とはQ(-1),Q(-2)q(-3),Q((1-4A)^1/2)

A={２，３，５，１１，１７，４１}

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虚２次体Q（√-d）の類数が1であるdはd=1,2,3,7,11,19,43,67,163の9個ある。

この体の整数はみな素数の積として順序は無視して一意に表される（一意分解整域）。

後半の4つのｄに対してQ（√-d）の整数環は一意分解整域であってもユークリッド整域ではないことを注意しておきたい。

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整除のアルゴリズム（ノルムの絶対値に関して）が定義できる整域＝ユークリッド整域

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