【１】ロスの定理（１９５５年）

代数的無理数はすべて２次で有理数近似可能であり、それ以上ではない。

数ｘがｎ次で有理数近似可能とは

　　|x-p/q|を満たす有理数p/qが無限にあるようなk(x)が存在するときをいう。

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【４】フルヴィッツ・ボレルの定理

　｜α−ｐ／ｑ｜＜１／ｑ^2

の右辺はこの定数倍でもよく，ディリクレの定理の精度を２倍に強めても，近似分数は無限個見つかる．

　　｜α−ｐ／ｑ｜＜１／２ｑ^2

たとえば，πの連分数展開は

　　π＝［３：７，１５，１，２９２，・・・］

　これから，近似値

　　３，２２／７，３３３／１０６，３５５／１１３，１０３９９３／３３１０２，・・・

が得られる．

　　｜π−２２／７｜＜１／２（７）^2＝０．０１

　　｜π−３３５／１１３｜＜１／２（１１３）^2＝０．０００３９

　　｜α−ｐ／ｑ｜＜１／２ｑ^2

は指数が２次の近似であるが，指数2ではなく，この定数２は無理数の種別によっては最良のものではない．たとえば，αが2次の無理数のとき，

　　　｜α−ｐ／ｑ｜＜１／√５ｂ^2

を満たす有理数ｐ／ｑは無限に多く存在する．一方，λ＞√５に対しても

　　　｜α−ｐ／ｑ｜＜１／λｂ^2

を満たす有理数ｐ／ｑが有限個しかない無理数αが存在する．

　すべての無理数のなかで，最も有理近似を嫌う数は黄金比

　　φ＝（１＋√５）／２＝［１：１，１，１，・・・］

である．

　　　λ＝［１：１，１，１，・・・］＋［０：１，１，１，・・・］＝φ＋１／φ＝√５

黄金比φに対しては，この定数√５は最良のもので，これより大きな数に置き換えることはできないが，黄金比φのようにαの連分数展開が有限個を除いてすべて１になる無理数

　　α＝［ａ0：ａ1，ａ2，・・・，ａr，１，１，１，・・・］

を除外すれば，√５の代わりに√８を用いても成り立つ．

　　λ＝［２：２，２，２，・・・］＋［０：２，２，２，・・・］＝１＋√２＋１／（１＋√２）＝√８

　　｜α−ｐ／ｑ｜＜１／√８ｂ^2

　次に問題になるのは

　　√２＝［１：２，２，２，・・・］

　　１＋√２＝［２：２，２，２，・・・］

のようなαの連分数展開が有限個を除いてすべて２になる無理数で，それを除くと定理を

　　λ＝［２：２，１，１，２，２，１，１，・・・］＋［０：１，１，２，２，２，１，１，２，２，・・・］＝（９＋√２２１）／１０＋（−９＋√２２１）／１０＝√（２２１／２５）

　　｜α−ｐ／ｑ｜＜１／√（２２１／２５）ｂ^2

に改良できる．

同様の改良を続けていったときの定数√５，√８，√（２２１／２５），・・・がラグランジュ数である．それらは

　　√（９−４／ｍ^2）

において，それぞれｍ＝１，２，５とおいたものである．結果として得られる数は３に収束する．

　　　｜α−ｐ／ｑ｜＜１／λｂ^2

のλは３より小さくすることはできない．

　　ｍ＝１，２，５，１３，２９，３４，８９，１６９，１９４，２３３，４３３，６１０，９８５，・・・

はマルコフ数と呼ばれる．マルコフ数は２次のディオファントス方程式

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚ

の解として現れる，大いに興味をかき立ててきたディオファントス方程式である．たとえば（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１，１，１），（２，１，１），（５，１，２），（１３，１，５），（２９，５，２），・・・

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