［参］大野泰生・松井優「白熱！無差別級数学バトル」日本評論社

に掲載されている問題を紹介したいと思います．

　Σ１／ｎ！＝１＋１／１！＋１／２！＋１／３！＋１／４！＋・・・＝ｅ

ですが，

［Ｑ］　Σ１／（２ｎ）！＝１＋１／２！＋１／４！＋・・・＝？

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［Ａ］　（ｅ＋１／ｅ）／２＝（Σ１／ｎ！＋Σ（−１）^n／ｎ！）／２＝Σ１／（２ｎ）！

　類似の問題

［Ｑ］　Σ１／（３ｎ）！＝？

［Ａ］　ｅ＝Σ１／（３ｎ）！＋Σ１／（３ｎ＋１）！＋Σ１／（３ｎ＋２）！

　ここで，１の原始３乗根

　　ω＝ｃｏｓ（２π／３）＋ｉｓｉｎ（２π／３）

　　ω^2＋ω＋１＝０，ω^3n＝１，ω^3n+1＝ω，ω^3n+2＝ω^2

を用いると

　　ｅ＝Σ１／（３ｎ）！＋Σ１／（３ｎ＋１）！＋Σ１／（３ｎ＋２）！

　　ｅ^ω＝Σ１／（３ｎ）！＋Σω／（３ｎ＋１）！＋Σω^2／（３ｎ＋２）！

　　ｅ^ω^2＝Σ１／（３ｎ）！＋Σω^2／（３ｎ＋１）！＋Σω／（３ｎ＋２）！

　辺々加えると

　　ｅ＋ｅ^ω＋ｅ^ω^2＝３Σ１／（３ｎ）！

ここで，

　　ｅ＋ｅ^ω＋ｅ^ω^2＝ｅ＋２／√ｅｃｏｓ（√３／２）

より，

　　Σ１／（３ｎ）！＝（ｅ＋２／√ｅｃｏｓ（√３／２））／３

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　　Σ１／（５ｎ）！，Σ１／（ａｎ）！などの一般化することは難しくない．

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