フェルマーやオイラーはx^2+my^2型の場合を研究したが、、その後、ルジャンドルやガウスは

aｘ^2＋bxｙ+cy^2型の場合を研究した。

一般に、

aｘ^2＋bxｙ+cy^2＝n

がZ^2に解をもつか否かを判定するアルゴリズムが存在する。素数の場合の限ってみると・・・

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２平方和定理「２より大きい素数が２つの整数ａ，ｂを用いて，ｐ＝ａ^2＋ｂ^2と表されるためには，ｐが４ｎ＋１型素数であることが必要十分である」は，ガウス整数の世界では

　　ｐ＝（ａ＋ｂｉ）（ａ−ｂｉ）

と素因数分解される条件を与えている定理であるとみることができる．

　　３ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋３ｙ^2の形に表すことができる．

　　４ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋ｙ^2の形に表すことができる．

　　４ｎ＋３型素数は，ｘ^2＋ｙ^2の形に表すことができない．

　　５ｎ＋１型素数は，ｘ^2−５ｙ^2の形に表すことができる．

　　５ｎ＋２型素数は，ｘ^2−５ｙ^2の形に表すことができない．

　　５ｎ＋３型素数は，ｘ^2−５ｙ^2の形に表すことができない．

　　５ｎ＋４型素数は，ｘ^2−５ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋１型素数は，ｘ^2−２ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋３型素数は，ｘ^2−２ｙ^2の形に表すことができない．

　　８ｎ＋５型素数は，ｘ^2−２ｙ^2の形に表すことができない．

　　８ｎ＋７型素数は，ｘ^2−２ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋３型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋５型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができない．

　　８ｎ＋７型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができない．

　　１２ｎ＋１型素数は，ｘ^2−３ｙ^2の形に表すことができる．

　　１２ｎ＋５型素数は，ｘ^2−３ｙ^2の形に表すことができない．

　　１２ｎ＋７型素数は，ｘ^2−３ｙ^2の形に表すことができない．

　　１２ｎ＋１１型素数は，ｘ^2−３ｙ^2の形に表すことができる．

　　２０ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋５ｙ^2の形に表すことができる．

　　２０ｎ＋９型素数は，ｘ^2＋５ｙ^2の形に表すことができる．

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