２元２次形式、３元２次形式、３元３次形式などを扱ってきたが、・・・

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【５】２元２次形式

整数係数の２つの２元２次形式

　　ｆ＝ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2

　　ｇ＝ｄＸ^2＋ｅＸＹ＋ｆＹ^2

があるとする．

　ｘ＝ｐＸ＋ｑＹ，ｙ＝ｒＸ＋ｓＹ　　　（ｐｓ−ｑｒ＝１）

という変換でｆがｇに移るとき，これらは同値であると定義される．同値な２次形式は整数からなる同じ集合を表現する．

　さらに，ｆの判別式ｄ＝ｂ^2−４ａｃとｇの判別式Ｄ＝ｅ^2−４ｄｆは等しい．すなわち，判別式は行列式が１の線形変換のもとで「不変式」である．

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【６】２元４次形式（ケイリー）

　ケイリーは２元４次形式

　　ｆ＝ａｘ^4＋４ｂｘ^3ｙ＋６ｃｘ^2ｙ^2＋４ｄｘｙ^3＋ｅｙ^4

のユニモジュラー変換による不変式

　　Ｄ＝ａｅ−４ｂｄ＋３ｃ^2

を示し，１８５６年には判別式ｄと行列式

　　　　｜ａ　ｂ　ｃ｜

　　ｑ＝｜ｂ　ｃ　ｄ｜　　　（次数３）

　　　　｜ｃ　ｄ　ｅ｜

とがユニモジュラー変換による不変式の完全系であることを示した．

また，

Ｈ＝｜ｆxx ｆxy ｜

　　　　｜ｆyx ｆyy ｜

　　Ｊ＝｜ｆx ｆy ｜

　　　　｜ｈx ｈy ｜

　　ｈ＝Ｈ／１２^2　　　（Ｈはｆのヘシアン，次数２）

ｊ＝Ｊ／８　　　　　（Ｊは（ｆ，ｈ）のヤコビアン，次数３）

とおくと，

　　ｈ＝（ａｃ−ｂ^2）ｘ^4＋（４ｂｃ＋２ａｄ−６ｂｃ）ｘ^3ｙ＋・・・

　　ｊ＝（ａ^2ｄ−３ａｂｃ＋２ｂ^3）ｘ^6＋・・・

これらの間の関係は，６次の多項式

　　ｊ^2＝−ｆ^3ｑ＋ｆ^2ｈＤ−４ｈ^3

で与えられる．そして，係数行列ｑが群ＳＬ（ｎ）のもとで不変であるという結果の重要な一般化が，ヤコビアンの値はゼロ点における不変量であることです．ヘシアンも群ＳＬ（ｎ）のもとで不変であることが示されます．そしてケイリー，シルベスター，ゴルダンらは特別な２元形式の場合の不変式を見つけたのです．

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【７】２元３次形式（ケイリー）

　　ｆ＝ａｘ^3＋３ｂｘ^2ｙ＋３ｃｘｙ^2＋ｄｙ^3　　　（係数についての次数１）

　　Ｄ＝ａ^2ｄ^2−６ａｂｃｄ＋４ａｃ^3＋４ｂ^3ｄ−３ｂ^2ｃ^2　　　（判別式，次数４）

ｈ＝Ｈ／６^2　　　（Ｈはｆのヘシアン，次数２）

ｊ＝Ｊ／３　　　　（Ｊは（ｆ，ｈ）のヤコビアン，次数３）

　これらの間の関係は，６次の多項式

　　ｊ^2＝ｆ^2Ｄ−４ｈ^3

で与えられる．

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