■ありやなしや(その50)

a,b,cを整数とするとき、

ax^2+bxy+cy^2=n

がZ^2に解をもつか? その整数解をすべて決定できるか?・・・

3x^2+6xy-5y^2=4

についてf(1,1)=4であることはすぐにわかるが、

3x^2+6xy-5y^2=7,すなわち

f(x,y)=7となる(x,y)をみつけることはできるだろうか?

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【1】同値性

ax^2+hxy+by^2とAx^2+Hxy+By^2が整数上同値とは、2次形式fの定義された格子があり、

2つの基底{e1,e2},{f1,f2}があって、

f(xe1+ye2)=ax^2+hxy+by^2

f(xf1+yf2)=Ax^2+Hxy+By^2に一致することでると定義する。

たとえば、e1=f2,e2=-f1-f2のとき、

xe1+ye2=-yf1+(x-y)f2=wf1+zf2とすると

z=x-y,w=yであって、

2x^2-4xy+3y^2=2(x-y)^2+y^2=2z^2+w^2

となって、2x^2-4xy+3y^2がとる値の集合と2z^2+w^2がとる値の集合は一致することがわかる。

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