１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋１／５＋１／６＋１／７＋・・・＝∞

（証）

１／３＋１／４＞１／４＋１／４＝１／２

１／５＋１／６＋１／７＋１／８＞１／８＋１／８＋１／８＋１／８＝１／２

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　２項に１項を削除すると

　１／２＋１／４＋１／６＋・・・

＝２（１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋１／５＋１／６＋１／７＋・・・）＝∞

　しかしながら，分母にひとつでも９が現れるものを削除すると

　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋１／５＋１／６＋１／７＋１／８＋１／１０＋１／１１＋１／１２＋１／１３＋１／１４＋１／１５＋１／１６＋１／１７＋１／１８＋１／２０＋・・・＝有限

　　１／１＋・・・＋１／８＜８

　　１／１０＋・・・１／１８＋１／２０＋・・・＋１／８８＜８・９／１０

　　１／１００＋・・・＋１／８８８＜８・９・９／１００＝８（９／１０）^2

　　Ｊ＜８｛１＋９／１０＋（９／１０）^2＋・・・｝＝８／（１−９／１０）＝８０

　したがって，９をすべて取り除いた調和級数は８０より小さい数に収束します．

　また，平方数の逆数の和

　１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋１／５^2＋１／６^2＋１／７^2＋・・・＝有限＝π^2／６＜２

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