一般に

1^k+2^k+・・・+n^k=1/(k+1){Bk+1(n+1)-Bk+1(1)},Bk+1(1)=Bk+1(0)=Bk+1

k=3のとき、

1^3+2^3+・・・+n^3=1/4{B4(n+1)-B4(1)}=(n(n+1)/2)^2

nが十分大ならば

1^k+2^k+・・・+n^k〜n^(k+1)/(k+1)

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ベルヌーイ多項式Bn(x)のフーリエ展開によって

B1(x)=-1/π・Σsin2πnx/n

B2(x)=1/π^2・Σcos2πnx/n^2

一般に

B2m+1(x)=(-1)^(m-1)2(2m+1)!/(2π)^(2m+1)・Σsin2πnx/n^(2m+1)

B2m(x)=(-1)^(m-1)/(2π)^2m・Σcos2πnx/n^2m

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Pk＝Σ1/n(n+k)とすると

n→∞のとき

Pk→Hk/k

P1→1,P2→3/4,P3→11/18,・・・　

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このことを積分風に書くと

P3＝Σ1/n(n+3)＝-1/3・[1/x+1/(x+1)+1/(x+2)](1,∞)＝11/18

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このことの裏にはジガンマ関数が見え隠れする

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