二項係数の公式

　　（ｎ＋１，ｋ＋１）＝（ｋ，ｋ）＋（ｋ＋１，ｋ）＋（ｋ＋２，ｋ）＋・・・＋（ｎ，ｋ）

　たとえば，ｎ＝５，ｋ＝３のとき

　　（６，４）＝（３，３）＋（４，３）＋（５，３）

　　１５＝１＋４＋１０

（証）（ｎ＋１，ｋ＋１）−（ｎ，ｋ＋１）＝（ｎ，ｋ）の辺々加えると

　　（ｎ＋１，ｋ＋１）＝（ｋ，ｋ）＋（ｋ＋１，ｋ）＋（ｋ＋２，ｋ）＋・・・＋（ｎ，ｋ）が得られる．

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　　（ｎ＋１，３）＝（２，２）＋（３，２）＋（４，２）＋・・・＋（ｎ，２）

すなわち，恒等式

　　Σ（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）／６＝Σｋ（ｋ−１）／２

が得られるが，これより，

　　Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

が導出される．

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　　（ｎ＋１，４）＝（３，３）＋（４，３）＋（５，３）＋・・・＋（ｎ，３）

すなわち，恒等式

　　Σ（ｎ−２）（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）／２４＝Σｋ（ｋ−１）（ｋ−２）／６

が得られるが，これより，

　　Σｋ^3＝｛ｎ（ｎ＋１）／２｝^2

が導出される．

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