ベルヌーイはこの式の列

Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２

Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

Σｋ^3＝ｎ^2（ｎ＋１）^2／４

Σｋ^4＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^2＋３ｎ−１）／３０

Σｋ^5＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（２ｎ^2＋２ｎ−１）／１２

Σｋ^6＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^4＋６ｎ^3−３ｎ＋１）／４２

Σｋ^7＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（３ｎ^4＋６ｎ^3−ｎ^2−４ｎ＋２）／２４

を見て，次のようなパターンを発見しました．

　それを一般式の形で書くと，S(s,n)=Σｋ^sは

　　S(s,n)=1/(s+1){B0n^(s+1)+(s+1,1)B1n^s+･･･+(s+1,s)Bsn}

　　=1/(s+1)Σ(K=0-s)(s+1,k)Ｂk(n+1)^(s+1-k)

と，ベルヌーイ数Ｂnを含む式で表すことができます．

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一般に

1^k+2^k+・・・+n^k=1/(k+1){Bk+1(n+1)-Bk+1(1)},Bk+1(1)=Bk+1(0)=Bk+1

k=3のとき、

1^3+2^3+・・・+n^3=1/4{B4(n+1)-B4(1)}=(n(n+1)/2)^2

nが十分大ならば

1^k+2^k+・・・+n^k〜n^(k+1)/(k+1)

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