ｙ^3＝ｘ^2＋４＝（ｘ＋２ｉ）（ｘ−２ｉ）において，もし右辺が通常の整数と同様に振る舞うと考えて，公約素数をもたないと仮定してみる．すなわち，ｇｃｄ｛（ｘ＋２ｉ），（ｘ−２ｉ｝＝１

　そうすれば，それらの積がｙ^3であるから，（ｘ＋２ｉ）は立方数である．

（ｘ＋２ｉ）＝（ａ＋２ｂｉ）^3

　ｇｃｄ｛（ｘ＋２ｉ），（ｘ−２ｉ）｝＝１

となるだろうか？

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　｜ａ＋２ｂｉ｜^2＝ａ^2＋４ｂ^2＝１ならばａ＝±１，ｂ＝０に限られるから，ａ＋２ｂｉｉ＝±１

よって，ｙ^3＝ｘ^2＋４のときに（ｘ＋２ｉ），（ｘ−２ｉ）の公約数のノルムが１になることを示せば十分である．

　ｙ^3＝０，１，３　（ｍｏｄ４）

　ｘ^2＝０，１　（ｍｏｄ４）

　ｘ^2＋４＝０，１　（ｍｏｄ４）

したがって，ｙ^3＝ｘ^2＋２が成り立つためには

　ｘ^2＝０，１　（ｍｏｄ４）

すなわち，ｘは奇数に限らない．→（ｘ＋２ｉ），（ｘ−２ｉ）のノルムｘ^2＋４は奇数に限らない．

（ｘ＋２ｉ），（ｘ−２ｉ）の約数はそれらの和４ｉの約数でもあり，４ｉのノルムは１６である．一方，（ｘ＋２ｉ），（ｘ−２ｉ）のノルムｘ^2＋４は奇数に限らないから，１６とｘ^2＋４の最大公約数は１とはならない．

したがって，（ｘ＋２ｉ）＝（ａ＋２ｂｉ）^3になるとは限らないのである．これがｘ^2＝４は何処かへ消え失せた原因である．

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