ｘ^3−ｙ^2＝±１

において，ｙ＝ｘ＋１とおいてみよう．

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［１］ｘ^3−（ｘ＋１）^2＝１

　　ｘ^3−ｘ^2−２ｘ−２＝０→ＮＧ

［２］ｘ^3−（ｘ＋１）^2＝−１

　　ｘ^3−ｘ^2−２ｘ＝０→ｘ（ｘ＋１）（ｘ−２）＝０

　　２^3−３^2＝−１

　１７３８年，オイラーは（ｍ，ｎ）＝（２，３）のとき，（ｘ，ｙ）＝（３，２）だけがｘ^m−ｙ^n＝±１を満たすことを証明した．

　　ｘ^3−（ｘ＋ｋ）^2＝±１

　　ｘ^3−ｘ^2−２ｋｘ−ｋ^2±１＝０

　ｘ^m−ｙ^n＝１の自然数解は（ｘ，ｙ，ｍ，ｎ）＝（３，２，２，３）のみであるというカタラン予想は，２００２年，ミハイレスクが３年にわたる挑戦の末，証明に成功した．

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　　ｘ^3−ｙ^2＝±２

において，ｙ＝ｘ＋２とおいてみよう．

［１］ｘ^3−（ｘ＋２）^2＝２

　　ｘ^3−ｘ^2−４ｘ−６＝０→（ｘ−３）（ｘ^2＋２ｘ＋２）＝０

　　３^3−５^2＝２

　２６は２乗数と３乗数に挟まれる整数であるが，フェルマーは２乗数と３乗数に挟まれる整数は他にはないことを証明した．

　　ｘ^3−（ｘ＋ｋ）^2＝±２

　　ｘ^3−ｘ^2−２ｋｘ−ｋ^2±２＝０

［２］ｘ^3−（ｘ＋２）^2＝−２

　　ｘ^3−ｘ^2−４ｘ−２＝０→（ｘ＋１）（ｘ^2−２ｘ−２）＝０→ＮＧ

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　　ｘ^3−ｙ^2＝±３

において，ｙ＝ｘ＋３とおいてみよう．

［１］ｘ^3−（ｘ＋３）^2＝３

　　ｘ^3−ｘ^2−６ｘ−１２＝０→ＮＧ

［２］ｘ^3−（ｘ＋３）^2＝−３

　　ｘ^3−ｘ^2−６ｘ−６＝０→ＮＧ

　（ｍ，ｎ）＝（７，３）とおけば，

　　２^7−５^3＝３，すなわち，（ｘ，ｙ，ｍ，ｎ）＝（２，５，７，３）

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　ｘ^m−ｙ^n＝４→（ｘ，ｙ，ｍ，ｎ）＝（５，１１，３，２）

　ｘ^m−ｙ^n＝５→（ｘ，ｙ，ｍ，ｎ）＝（３，２，２，２），（２，３，５，３）

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