【２】正方形ビリヤード問題

　クロネッカーの稠密定理は１次元の定理であるが，２次元に拡張することによって長方形ビリヤード問題に幾何学的証明を与えることができる．

　正方形のビリヤード台（０≦ｘi≦１）を考え，点ｘ＝（ｘ1，ｘ2）の初期の直線運動を

　　ｘ1＝ｖ1ｔ＋ａ1

　　ｘ2＝ｖ2ｔ＋ａ2

とする．ｔ：時間，初期位置ａ＝（ａ1，ａ2），初期速度ｖ＝（ｖ1，ｖ2）

　東西方向の壁にぶつかるときは南北方向の運動量の向きだけが逆になり，南北方向の壁にぶつかるときには東西方向の運動量の向きだけが逆になる．したがって，どんな軌道であろうと４通りの向きにしかならないのでこの運動は完全に予測可能である．

　　＜ｘ＞＝｜ｘ｜　　　　　（−１≦ｘ≦１のとき）

　　＜ｘ＋２＞＝＜ｘ＞　　　（すべての実数ｘについて）

で定義される関数を用いると，初期運動に対するビリヤードボールの運動は

　　ｘ1＝＜ｖ1ｔ＋ａ1＞

　　ｘ2＝＜ｖ2ｔ＋ａ2＞　　　（−∞＜ｔ＜∞）

で表される．

　ある位置からある角度でビリヤードの球を発射させると，何回か壁にあたった後，最初と同じ位置・同じ角度で戻ってくる場合がある．ｎ回壁にあった後，同じ状態に戻る場合をｎ周期軌道と呼ぶことにすると，与えられたｎに対して発射角度を求めるというのはおなじみのビリヤード問題であろう．このとき，軌道が閉多角形であるための必要十分条件は，ｖ1，ｖ2が２つの有理数に比例していることである．

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【３】立方体ビリヤード問題

［１］ケーニッヒ・ズクス多角形（Ｋ・Ｓ多角形）

　それではビリヤード球が立方体の内部で各面で１回ずつ反射して，常に同じ軌道をぐるぐると周り続けることは可能だろうか？　これは可能であって，そのような有限閉多角形はケーニッヒ・ズクス多角形と呼ばれる．

　スタインハウスが発見した例は各面を３×３に分割した升目の角をイス型に巡回するもの（１：２の比に対角線を分割する閉六角形）である．４つの側面の中心と底面，上面の対角線を１：３の比に分割する閉八角形も驚くほど簡単な例である．２つの軌道に共通する特徴は立方体に内接する正四面体の辺上（ケプラーの八角星）を通るということである．

　前節同様

　　ｘ1＝＜ｖ1ｔ＋ａ1＞

　　ｘ2＝＜ｖ2ｔ＋ａ2＞　　　（−∞＜ｔ＜∞）

　　ｘ3＝＜ｖ3ｔ＋ａ3＞

が閉かつ有限多角形であるための必要十分条件はｖ1，ｖ2，ｖ3が３つの有理数に比例していることである．

　閉六角形の巡回軌道の場合，ｖ1＝１，ｖ2＝１，ｖ3＝−１とおいて

　　ｘ1＝＜ｔ＋１／３＞

　　ｘ2＝＜−ｔ＋１／３＞　　　（−∞＜ｔ＜∞）

　　ｘ3＝＜−ｔ＋１＞

と書くことができる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　逆にｖ1，ｖ2，ｖ3が３つの有理数に比例しなければ，無限個の辺をもつ多角形となる．その際，

［２］軌道が立方体を稠密に埋めつくす（エルゴード的）

か，

［３］有限閉多面体（ケーニッヒ・ズクス多面体，Ｋ・Ｓ多面体）の臨界平面を稠密に埋めつくす

のどちらか一方になる．

　この有限閉多面体はケーニッヒ・ズクス多面体と呼ばれ，臨界平面での運動を２パラメータ方程式

　　ｘ1＝ｖ1ｔ＋ｕ1ｓ＋ａ1

　　ｘ2＝ｖ2ｔ＋ｕ2ｓ＋ａ2

　　ｘ3＝ｖ3ｔ＋ｕ3ｓ＋ａ3

で定めると，任意の６面にぶつかって反射した後の平面は

　　ｘ1＝＜ｖ1ｔ＋ｕ1ｓ＋ａ1＞

　　ｘ2＝＜ｖ2ｔ＋ｕ2ｓ＋ａ2＞　　　（−∞＜ｔ，ｓ＜∞）

　　ｘ3＝＜ｖ3ｔ＋ｕ3ｓ＋ａ3＞

と記述される．

　これが閉かつ有限であるための必要十分条件は，ｖ1，ｖ2，ｖ3が３つの有理数に比例しかつｕ1，ｕ2，ｕ3が３つの有理数に比例していることである．

　最も簡単なＫ・Ｓ多面体は

　　ｘ1＝＜ｔ＞

　　ｘ2＝＜ｓ＞

　　ｘ3＝＜１−ｔ−ｓ＞

である．臨界平面はｘ1＋ｘ2＋ｘ3＝１であるから，立方体に内接する正四面体になる．立方体に正四面体を内接させることができることは，最初ケプラーにより指摘されたことからケプラー四面体と呼ばれる．

　なお，立方体に２個の正四面体を天地逆転させて重ねて内接させた相貫体にはケプラー八角星（星形八面体）という名前がつけられている．ケプラー八角星は外側に立方体，内側に正８面体をもっている．

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