【１】ヒンチンの定理

　次にａnの幾何平均値を求めてみます．

　１９３５年，ヒンチンは一般の連分数

　　［ａ0：ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn，・・・］

の大多数についてあてはまる法則を発見しています．

　ヒンチンの定理とは，幾何平均（ａ1ａ2・・・ａn）^1/nの値がｎ→∞のとき，ある無限乗積から定まる定数

　　（ａ1ａ2・・・ａn）^1/n→Π(1+1/k(k+2))^logk/log2=2.685452001･･･

に収束するというものです．κ＝２．６８５４５・・・はヒンチンの定数として知られています．

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【２】レヴィの定理

　実数ｘのｎ項までの連分数展開ｐn／ｑnとする．レヴィは，ほとんどすべての実数に対して，近似分数の分母が

　　（ｑn）^1/n→ｅｘｐ（π^2／１２ｌｏｇ２）＝３．２７５８２２９２・・

になることを示しました．

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【３】まとめ

　ヒンチンの定理は，連分数の測度論，すなわち，その部分商がａになる確率は

　　ｌｏｇ2（１＋１／ａ）−ｌｏｇ2（１＋１／（ａ＋１））

＝ｌｏｇ2（（ａ＋１）^2／（（ａ＋１）^2−１））

からのアプローチです．

　また，ユークリッドの互除法は連分数と関連していて，レヴィの定理はそのアルゴリズムの効率解析からのアプローチのようです．

　両者がほぼ一致することを示しました．

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