ガウスは連分数展開

　　ｘ＝［ａ0：ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn，・・・］

に対して

　　ｃn＝［０：ａn+1，ａn+2，ａn+3，・・・］

で定義されるできるｃnに対して，確率Ｐ（ｃn＜ｘ）を考えた．０＜ｘ＜１について，その確率は

　　Ｐ（ｃn＜ｘ）＝ｌｏｇ2（１＋ｘ）＋εn（ｘ）

隣るという結果を得たのであるが，εn（ｘ）がどういう関数になるかまではわからなかった．

　それから１００年以上経て，εn（ｘ）はｎが大きくなるにつれて急速に０になることが証明された．すなわち，誤差項に関して，１９２８年にクズミンはほとんどすべての連分数に対して，

　　εn＝Ｏ（ｑ^√n）　　０＜ｑ＜１

１９２９年にレヴィは

　　εn＝Ｏ（ｑ^n）　　ｑ＝０．７

であることを示したのである．

　このことからほとんどすべての実数において，その連分数の中に現れる整数の分布は同一で，ａ1，ａ2，・・・，ａnの中に現れる整数ｋも個数をｃn（ｋ）とするとき，

　　ｐ（ｋ）＝ｌｉｍｃn（ｋ）／ｎ＝ｌｏｇ2（１＋１／ｋ（ｋ＋１））

が成り立つ．

　この分布をガウス・クズミン分布と呼ぶのであるが，ほとんどすべてというのは，２次の無理数や超越数ｅを除いてという意味である．

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