整数の世界では素数であったものが、ガウス整数の世界では素数にならなくなるものがあります。

例:13=(3+2i)(3-2i)=3^2+2^2

[1]2=(1+i)(1-i)と素因数分解される

[2]素数ｐが4n+1型素数であるとき、p=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2

[3]素数ｐが4n+3型素数であるとき、pはガウス素数となる。

例:

2=(1+i)(1-i)

3:ガウス素数

5=(1+2i)(1-2i)

7:ガウス素数

11:ガウス素数

13=(2+3i)(2-3i)

17=(1+4i)(1-4i)

19:ガウス素数

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【１】フィボナッチの等式

フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式

（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ＋ｂｄ）^2＋（ａｄ−ｂｃ）^2

が正しいことは簡単に確認できます．

このことは

［１］ｘ^2＋ｙ^2型整数の積は，再びｘ^2＋ｙ^2型整数として表すことができること，また，

［２］この積は２通りの異なる方法で，２つの平方数の和として表すことができることを示しています．

　たとえば，５と１３はいずれも４ｎ＋１型素数で，２つの平方数の和として表されますから，

　　６５＝５・１３

５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2

　　６５＝（１・２＋２・３）^2＋（１・３−２・２）^2＝８^2＋１^2

　　６５＝（１・２−２・３）^2＋（１・３＋２・２）^2＝４^2＋７^2

となります．

ａ＝ｂまたはｃ＝ｄのときは，積はたった１通りの方法で２つの平方数の和になります．

　　１０＝２・５

　　２＝１^2＋１^2，５＝１^2＋２^2

　　１０＝（１・１＋１・２）^2＋（１・２−１・１）^2＝３^2＋１^2

　　１０＝（１・１−１・２）^2＋（１・２＋１・１）^2＝１^2＋３^2

　　１１０５＝５・１３・１７

は４ｎ＋１型素数のはじめの３素数の積です．このことから，１１０５は２つの平方数の和で４通りに表せることになるのです．

　　１１０５＝（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）（ｅ^2＋ｆ^2）

　　１７＝１^2＋４^2

　　１１０５＝（８^2＋１^2）（１^2＋４^2）＝４^2＋３３^2＝１２^2＋３１^2

　　１１０５＝（４^2＋７^2）（１^2＋４^2）＝２４^2＋２３^2＝３２^2＋９^2

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[1]12n+1型素数：13,37,61,73,97,103,・・・：ガウス分解かつアイゼンシュタイン分解

[2]12n+5型素数：5,17,29,41,53,89,101,113,・・・：ガウス分解かつアイゼンシュタイン惰性

[3]12n+7型素数：7,19,31,43,67,79,103,127,・・・：ガウス惰性かつアイゼンシュタイン分解

[4]12n+11型素数：11,23,47,59,71,83,107,131,・・・：ガウス惰性かつアイゼンシュタイン惰性

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