コラム「正五角形と正十七角形（その４）」では

［Ｑ］ｃｏｓπ／７−ｃｏｓ２π／７＋ｃｏｓ３π／７＝１／２を示せ．

を扱った。

−ｃｏｓ２π／７＝ｃｏｓ５π／７であるから，この問題は

　　ｃｏｓπ／７＋ｃｏｓ３π／７＋ｃｏｓ５π／７＝１／２

と同値である．

　実は

　　ｃｏｓπ／７＋ｃｏｓ３π／７＋ｃｏｓ５π／７＝４／８＝１／２

　　ｃｏｓπ／７・ｃｏｓ３π／７・ｃｏｓ５π／７＝−１／８

が示される．

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これも右辺は1/8

ｃｏｓπ／７・ｃｏｓ２π／７・ｃｏｓ３π／７＝１／８

になるが、なぜ見つけられなかったのだろうか？

左辺に

2sinπ／７・2sin２π／７・2sin３π／７をかけると

sin２π／７・sin４π／７・sin６π／７

=sin4π／14・sin8π／14・sin12π／14

=ｃｏｓ3π／14・ｃｏｓπ／14・ｃｏｓ5π／14

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ｃｏｓπ／７・ｃｏｓ２π／７・ｃｏｓ３π／７

＝sin5π／14・sin3π／14・sinπ／14

2cos5π／14・2cos3π／14・2cosπ／14をかけると

sin10π／14・sin6π／14・sin2π／14

=ｃｏｓ3π／14・ｃｏｓπ／14・ｃｏｓ5π／14

かけたものと同じものが出現したので、1/8が証明された。

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