代数方程式論の始まりはバビロニア数学とされる．

　　ｆ（ｘ）＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝（ｘ−ρ1）（ｘ−ρ2）＝０

において，

　　τν＝ρ1＋ω^νρ2，ω＝ｅ（１／２）

とおくと，

　　ρ1＝（τ0＋τ1）／２，ρ2＝（τ0＋ωτ1）／２

　置換ρ1→ρ2を施すと，τ1→ωτ1，したがって，

　　（Ｘ−τ1）（Ｘ−ωτ1）＝Ｘ^2−τ1^2＝０，τ1^2＝ａ^2−４ｂ

すなわち，ｆの係数から四則演算をもって得られる係数をもつ１次方程式の根τ1^2に開平を施し解｛ρ1，ρ2｝に達し得る．

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　つぎに，３次方程式

　　ｆ（ｘ）＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝（ｘ−ρ1）（ｘ−ρ2）（ｘ−ρ3）＝０

において，

　　τν＝ρ1＋ω^νρ2＋ω^2νρ3，ω＝ｅ（１／３）

とおくと，

　　ρ1＝（τ0＋τ1＋τ2）／３

　　ρ2＝（τ0＋ωτ1＋ω^2τ2）／３

　　ρ3＝（τ0＋ω^2τ1＋ωτ2）／３

　互換ρ1←→ρ2，ρ1←→ρ3，ρ2←→ρ3を施すと，

｛τ1，τ2｝→｛ωτ2，ω^2τ1｝，｛ω^2τ2，ωτ1｝，｛τ2，1｝

したがって，何れの互換に対しても

　　τ1^3＋τ2^3，τ1τ2

は不変．

それゆえ，

　　（Ｘ−τ1）（Ｘ−ωτ1）（Ｘ−ω^2τ1）（Ｘ−τ2）（Ｘ−ωτ2）（Ｘ−ω^2τ2）＝（Ｘ^3−τ1^3）（Ｘ^3−τ2^3）＝０

係数は｛ρ1，ρ2，ρ3｝の対称式であり，すなわち，ｆの係数の多項式であり，｛τ1，τ2｝はｆから導かれる２次方程式の根τ1^3，τ2^3の立方根．

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　つぎに，４次方程式

　　ｆ（ｘ）＝ａｘ^4＋ｂｘ^3＋ｃｘ^2＋ｄｘ＋ｅ＝（ｘ−ρ1）（ｘ−ρ2）（ｘ−ρ3）（ｘ−ρ4）＝０

において，

　　τ0＝ρ1＋ρ2＋ρ3＋ρ4

　　τ1＝ρ1−ρ2＋ρ3−ρ4

　　τ2＝−ρ1＋ρ2＋ρ3−ρ4

　　τ3＝−ρ1−ρ2＋ρ3＋ρ4

とおくと，

　　ρ1＝（τ0＋τ1−τ2−τ3）／４

　　ρ2＝（τ0−τ1＋τ2−τ3）／４

　　ρ3＝（τ0＋τ1＋τ2＋τ3）／４

　　ρ4＝（τ0−τ1−τ2＋τ3）／４

　｛ρ1，ρ2，ρ3，ρ4｝の何れの互換によっても，方程式

（Ｘ^2−τ1^2）（Ｘ^2−τ2^2）（Ｘ^2−τ3^2）＝０

の係数は変化せず，ｆから導かれる３次方程式の平方根をもって，ｆ（ｘ）＝０の根を表すことができる．

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