［Ｑ］正七角形の辺の長さを１，短い方の対角線の長さをｘ，長い方の対角線の長さをｙとする．ｘ，ｙを求めよ．

［Ａ］芸者の扇を折り畳むという解法が知られれている．それによると，

　　１＋ｙ／ｘ＝ｙ，ｘ＋１／ｙ＝ｙ

　２つの方程式からｘまたはｙを消去すると，３次方程式

ｘ^3−ｘ^2−２ｘ＋１＝０

ｙ^3−２ｙ^2−ｙ＋１＝０

が得られる．→作図不能

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　円分方程式ｘ^n−１＝０において，ｎ＝５の場合はｙ＝ｘ＋１／ｘとおいて，

　　ｘ^5−１＝ｘ^2（ｘ−１）（ｙ^2＋ｙ−１）＝０

　　ｙ＝（−１±√５）／２

１の５乗根は１

　　α＝｛−１＋√５＋ｉ（１０＋２√５）^1/2｝／４

　　α^2＝｛−１−√５＋ｉ（１０−２√５）^1/2｝／４

　　α^3＝｛−１−√５−ｉ（１０−２√５）^1/2｝／４

　　α^4＝｛−１＋√５−ｉ（１０＋２√５）^1/2｝／４

ｎ＝７の場合もｙ＝ｘ＋１／ｘとおいて

　　ｘ^5−１＝ｘ^2（ｘ−１）（ｙ^3＋ｙ^2＋２ｙ−１）＝０

つまり３次方程式に帰着する．．

ｎ＝１１の場合もｙ＝ｘ＋１／ｘとおくと，５次方程式

　　ｙ^5＋ｙ^4−４ｙ^3−３ｙ^2＋３ｙ＋１＝０

に帰着する．

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［まとめ］ｎ＝６の場合はｎ＝３の場合の根の平方根，ｎ＝８の場合は平方根を３度重ねる，ｎ＝９の場合は立方根を重ねる，ｎ＝１０の場合はｎ＝５の場合の根の平方根．

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