Ｄ＝ｂ^2−４ａｃ

とすると

ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ^2＋５ｙ^2の判別式Ｄ＝−２０

ｇ（ｘ，ｙ）＝２ｘ^2＋２ｘｙ＋３ｙ^2の判別式Ｄ＝−２０

しかし、

ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ^2＋５ｙ^2＝１は解(1,0)をもつのに対し

ｇ（ｘ，ｙ）＝２ｘ^2＋２ｘｙ＋３ｙ^2＝1は

２ｇ（ｘ，ｙ）＝（２ｘ＋ｙ）^2＋５ｙ^2＝２となるので、解をもたないことがわかる。

一方、

ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ^2＋５ｙ^2＝３は解をもたないのに対し

ｇ（ｘ，ｙ）＝２ｘ^2＋２ｘｙ＋３ｙ^2＝３は解(0，1)をもつ

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ここで、

与えられた判別式Ｄをもち、かつ、｜ｂ｜≦｜ａ｜≦｜ｃ｜を満たす

ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2の同値類がどれくらいあるかが問題となる。

Ｄ＝−２０の簡約２元2次形式は

ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ^2＋５ｙ^2

ｇ（ｘ，ｙ）＝２ｘ^2＋２ｘｙ＋３ｙ^2

ｈ（ｘ，ｙ）＝２ｘ^2−２ｘｙ＋３ｙ^2

で尽くされる。

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