【２】類数１

ここで紹介するのは，重根をもつ・もたないの判別ではなく，素数の分解法則と密接に関係している判別式です．

２次形式ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2の判別式

　　Ｄ＝ｂ^2−４ａｃ

の値が等しくなる同値でない２次形式の個数を「類数」と呼ぶ．類数とはすべての数体に付随した不変量（自然数）なのですが，類数１をもつというのは，２次体Ｋのすべての代数的整数が，Ｋの素数の積として表され，その表現が単数（１の約数となる整数）を無視して，一意であることをいいます(素因数分解の一意性)．

　類数の研究はラグランジュとガウスに始まる．とくに興味が持たれるのは類数の値が１となるＤがどれくらいあるかであった．その研究は徐々に進展し，１９５０年代になってヘーグナー，１９６７年にはスターク，ベイカーによって，類数１をもつＤは９つしかないことが示された．

　Ｄ＝−３，−４，−７，−８，−１１，−１９，−４３，−６７，−１６３

２次体Ｑ（√ｄ）の判別式Ｄは

　　ｄ＝２，３（ｍｏｄ４）　→　Ｄ＝４ｄ

　　ｄ＝１（ｍｏｄ４）　　　→　Ｄ＝ｄ

となるのですが，ｄ＝・・・に直すと

　　ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

　後半の４つのｄに対して，Ｑ（√−ｄ）の整数環はユークリッド整域ではない．（整除すなわち余りを出す除法のアルゴリズムが定義できる整域をユークリッド整域という．）

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