フェルマーやオイラーはx^2+my^2型の場合を研究したが、、その後、ルジャンドルやガウスは

aｘ^2＋bxｙ+cy^2型の場合を研究した。

一般に、

aｘ^2＋bxｙ+cy^2＝n

がZ^2に解をもつか否かを判定するアルゴリズムが存在する。

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3ｘ^2＋6xｙ-5y^2＝4

についてf(1,1)=4であることはすぐにわかるが、

3ｘ^2＋6xｙ-5y^2＝7、すなわち

f(x,y)=7となる(x,y)をみつけることはできるだろうか？

f(1,0)=3,f(0,1)=-5,-5,f(1,1)=4

からスタートするトポグラフを描く

トポグラフに現れる数（に平方数をかけても）7、-100をとらないことがわかる。

3ｘ^2＋6xｙ-5y^2＝7

3ｘ^2＋6xｙ-5y^2＝-100

などは整数の範囲に解をもたないことがわかる。

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2ｘ^2＋xｙ+4y^2＝31

f(1,0)=2,f(0,1)=4,-5,f(1,1)=7

からスタートするトポグラフを描く

2，4，5，7，10，14，16，19，20，25，28，32

2ｘ^2＋xｙ+4y^2＝31

は整数の範囲に解をもたないことがわかる。

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