【１】ラグランジュ・スペクトル

｜α−ｐ／ｑ｜＜１／λｑ^2

λ=｛√５，√８，√（２２１）／５，√（１５１７）／１３，・・・｝

そして，これらに対応する数とつきあわせると

　　√５→（−１＋√５）／２＝［０：１，１，１，・・・］

　　√８→（−１＋√２）＝［０：２，２，２，・・・］

　　√（２２１）／５→（−９＋√２２１）／１４＝［０：２，２，１，１，・・・］

　　√（１５１７）／１３→（−２３＋√１５１７）／３８＝［０：２，２，１，１，１，１，・・・］

［１］（−１＋√５）／２以外のすべての無理数αに対して，λ＞√５として，

　　　｜α−ｐ／ｑ｜＜１／λｑ^2

となる有理数ｐ／ｑが無限個存在する．

［２］（−１＋√５）／２と（−１＋√２）以外のすべての無理数αに対して，λ＞√８として，

　　　｜α−ｐ／ｑ｜＜１／λｑ^2

となる有理数ｐ／ｑが無限個存在する．

［３］（−１＋√５）／２と（−１＋√２）と（−９＋√２２１）／１４以外のすべての無理数αに対して，λ＞√（２２１）／５として，

　　　｜α−ｐ／ｑ｜＜１／λｑ^2

となる有理数ｐ／ｑが無限個存在する．

［４］（−１＋√５）／２と（−１＋√２）と（−９＋√２２１）／１４と（−２３＋√１５１７）／３８以外のすべての無理数αに対して，λ＞√（１５１７）／１３として，

　　　｜α−ｐ／ｑ｜＜１／λｑ^2

となる有理数ｐ／ｑが無限個存在する．

　マルコフ数の謎について，さらに続けるならば

　　√（７８６５）／２９→［０：２，２，２，２，１，１，・・・］

　　√（２６００）／１７→［０：２，２，１，１，１，１，１，１，・・・］

　　√（７８２８５）／８９→［０：２，２，１，１，１，１，１，１，１，１，・・・］

　　√（２５７０４５）／１６９→［０：２，２，２，２，２，２，１，１，・・・］

　　√（８４６８０）／９７→［０：２，２，１，１，２，２，１，１，１，１，・・・］

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