階乗ｎ！の近似値を与える公式として有名なスターリングの公式があります．

　　Γ（ｎ＋１）＝ｎ！〜√（２πｎ）ｎ^n ｘｐ（−ｎ）

　スターリングの公式の変種としては，

　　（ｎ＋１／２）^n〜ｎ^nｅｘｐ（−１／２）

　　Γ（ｎ＋１／２）〜√（２π）（ｎ＋１／２）^n ｘｐ（−ｎ＋１／２）〜ｎ！／√ｎ

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［Ｑ］ｐを素数，ｑを２以上の非素数，ｒを２以上の自然数とする．このとき，全素数にわたる積

　　Ｐ＝Πｐ^6／（ｐ^6−１）＝ζ（６）＝π^6／９４５

であるが，

　　Ｑ＝Πｑ^6／（ｑ^6−１）＝？

［Ａ］Ｓ（ｘ）＝ｓｉｎπｘ／πｘ＝Π(1,∞)（１−ｘ^2／ｎ^2）

　ωを１の３乗根とする．ω^3＝１，ω^2+ω+1＝０

　Ｓ（ｘ）Ｓ（ωｘ）Ｓ（ω^2ｘ）＝Π(1,∞)（１−ｘ^2／ｎ^2）（１−ω^2ｘ^2／ｎ^2）（１−ω^4ｘ^2／ｎ^2）＝Π(1,∞)（（ｎ^6−ｘ^6）／ｎ^6）

Π(1,∞)（ｎ^6／（ｎ^6−ｘ^6））＝１／Ｓ（ｘ）Ｓ（ωｘ）Ｓ（ω^2ｘ）

Π(2,∞)（ｎ^6／（ｎ^6−ｘ^6））＝（１−ｘ^6）／Ｓ（ｘ）Ｓ（ωｘ）Ｓ（ω^2ｘ）＝（πｘ）^3（１−ｘ^6）／ｓｉｎ（πｘ）ｓｉｎ（ωπｘ）ｓｉｎ（ω^2πｘ）

　ここで，ｘ→１としてときの極限を考えてみます．ロピタルの定理より

N=Π(2,∞)n^6/(n^6-1)=lim(x→1) π^3x^3(1-x^6)/sin(πx)sin(ωπx)sin(ω^2πx)

sin(ωπ)sin(ω^2π)＝-1/2(cos(ω+ω^2)π-cos(ω-ω^2)π)

sin(ωπ)sin(ω^2π)＝-1/2(-1-cos(i√3π))

より，N=12π^2/(1+cosh(π√3))として求まります．

　　Ｑ＝Ｎ／Ｐ

　　Ｐ＝π^6／９４５より，Ｑ＝１１３４０／π^4（１＋ｃｏｓｈ（π√３））＝１．００２００１・・・

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