［Ｑ］ｐを素数，ｑを２以上の非素数，ｒを２以上の自然数とする．このとき，全素数にわたる積

　　Ｐ＝（２・２／１・３）（３・３／２・４）（５・５／４・６）・・・（ｐ・ｐ／（ｐ−１）・（ｐ＋１））・・・＝π^2／６

であったが，

　　Ｑ＝（４・４／３・５）（６・６／５・７）（８・８／７・９）・・・（ｑ・ｑ／（ｑ−１）・（ｑ＋１））・・・＝？

［Ａ］ｓｉｎπｘ／πｘ＝Π(1,∞)（１−ｘ^2／ｎ^2）を用います．

πｘ／ｓｉｎπｘ＝Π(1,∞)（ｎ^2／（ｎ^2−ｘ^2））

πｘ／ｓｉｎπｘ＝１／（１−ｘ^2）Π(2,∞)（ｎ^2／（ｎ^2−ｘ^2））

Π(2,∞)（ｎ^2／（ｎ^2−ｘ^2））＝πｘ（１−ｘ^2）／ｓｉｎπｘ

　ここで，ｘ→１としてときの極限を考えてみます．ロピタルの定理より

N=Π(2,∞)n^2/(n^2-1)=lim(x→1) πx(1-x^2)/sinπx →　2　となります．

　　Ｑ＝Ｎ／Ｐ

　　Ｐ＝π^2／６より，Ｑ＝１２／π^2＝１．２１７８８・・・

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［Ｑ］ｐを素数，ｑを２以上の非素数，ｒを２以上の自然数とする．このとき，全素数にわたる積

　　Ｐ＝Πｐ^4／（ｐ^4−１）＝ζ（４）＝π^4／９０

であるが，

　　Ｑ＝Πｑ^4／（ｑ^4−１）＝？

［Ａ］ｓｉｎπｘ／πｘ＝Π(1,∞)（１−ｘ^2／ｎ^2）

　　　ｓｉｎｈπｘ／πｘ＝Π(1,∞)（１＋ｘ^2／ｎ^2）

ｓｉｎπｘｓｉｎｈπｘ／（πｘ）^2＝Π(1,∞)（１−ｘ^4／ｎ^4）を用います．

Π(1,∞)（ｎ^4／（ｎ^4−ｘ^4））＝（πｘ）^2／ｓｉｎπｘｓｉｎｈπｘ

１／（１−ｘ^4）Π(2,∞)（ｎ^4／（ｎ^4−ｘ^4））＝（πｘ）^2／ｓｉｎπｘｓｉｎｈπｘ

Π(2,∞)（ｎ^4／（ｎ^4−ｘ^4））＝（πｘ）^2（１−ｘ^4）／ｓｉｎπｘｓｉｎｈπｘ

　ここで，ｘ→１としてときの極限を考えてみます．ロピタルの定理より

N=Π(2,∞)n^4/(n^4-1)=lim(x→1) (πx）^2(1-x^4)/sinπxsinhπx →　4π/sinh(π)＝８π／（ｅｘｐπ−ｅｘｐ（−π））　となります．

　　Ｑ＝Ｎ／Ｐ

　　Ｐ＝π^4／９０より，Ｑ＝７２０／π^3（ｅｘｐπ−ｅｘｐ（−π））＝１．００８４・・・

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