［Ｑ］１０００！／１０^250は整数であるか？

［Ａ］ｅ5（１０００！）＝［１０００／５］＋［１０００／５^2］＋［１０００／５^3］＋［１０００／５^4］＝２００＋４０＋８＋１＝２４９

　１０の倍数は２４９個．したがって，１０００！／１０^249は整数であるか，１０００！／１０^250は整数とはならない．

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【１】ｅp（ｎ！）の上限

　　ｅp（ｎ！）＜ｎ／ｐ＋ｎ／ｐ^2＋＋ｎ／ｐ^3＋・・・

＝ｎ／ｐ（１＋１／ｐ＋１／ｐ^2＋・・・）

＝ｎ／（ｐ−１）

　ｐ＝２，ｎ＝１００の場合は，９７＜１００となり，真の値９７にかなり近い．

　　ｅ2（１００！）＝［１００／２］＋［１００／２^2］＋［１００／２^3］＋［１００／２^4］＋［１００／２^5］＋［１００／２^6］＝９７

　ｐ＝５，ｎ＝１０００の場合は，２４９＜２５０となり，真の値２４９にかなり近い．

　　ｅ5（１０００！）＝［１０００／５］＋［１０００／５^2］＋［１０００／５^3］＋［１０００／５^4］＝２００＋４０＋８＋１＝２４９

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